Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Площади и объемы

335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности.

Многоугольной областью, или - короче - многоугольником, мы будем называть произвольную конечную (возможно, и несвязную) плоскую фигуру, ограниченную одной или несколькими замкнутыми ломаными. Для такой фигуры понятие площади было достаточно изучено в школьном курсе геометрии, его мы положим в основу.

Возьмем теперь произвольную фигуру (Р) на плоскости, представляющую собой ограниченную и замкнутую область. Ее границу или контур мы всегда будем себе представлять в виде замкнутой кривой (или нескольких таких кривых).

Станем рассматривать всевозможные многоугольники (А), целиком содержащиеся в (Р), и многоугольники (В), целиком в себе содержащие (рис. 14). Если А и В означают, соответственно, их площади, то всегда Множество чисел ограниченное сверху любым В, имеет точную верхнюю границу причем

Рис. 14.

Точно так же множество чисел ограниченное снизу числом Р, имеет точную нижнюю границу Эти границы можно было бы назвать первую - внутренней, а вторую - внешней площадью фигуры (Р).

Если обе границы

совпадают, то общее их значение Р называется площадью фигуры (Р). В этом случае фигуру (Р) называют квадрируемой.

Как легко видеть, для существования площади необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись такие два многоугольника (А) и (В), что .

Действительно, необходимость этого условия вытекает из основных свойств точных границ [11]: если площадь Р существует, то найдется и Достаточность сразу же следует из неравенств

Пусть теперь фигура (Р) разложена на две фигуры можно себе представить, например, что это осуществлено с помощью кривой, соединяющей две точки ее контура, или целиком лежащей внутри (Р) (рис. 15, а и б). Докажем, что

квадрируемость двух из этих трех фигур влечет за собой квадрируемость третьей, причем всегда

т. е. площадь обладает свойством аддитивности.

Предположим для определенности, что имеют площади фигуры . Рассмотрим соответствующие им входящие и выходящие многоугольники Из взаимно неналегающих многоугольников составится многоугольная область (А) с площадью целиком содержащаяся в области (Р).

Рис. 15.

Из многоугольников же возможно и взаимно налегающих, составится область (В) с площадью содержащая в себе область (Р). Очевидно,

так как при этом от от могут отличаться произвольно мало, то это же справедливо относительно В и А, откуда и вытекает квадрируемость области (Р).

С другой стороны, имеем одновременно

и

так что числа содержатся между одними и теми же и притом произвольно близкими границами следовательно, эти числа равны, ч. и тр. д.

Отметим, в частности, что отсюда , так что часть фигуры имеет площадь, меньшую чем вся фигура.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление