Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

337. Классы квадрируемых областей.

Кривая (К) — контур области (Р) - играет существенную роль в вопросе о квадрируемости этой области.

Если квадрируемость налицо, то, как мы видели в 335, по заданному кривая (К) может быть заключена в некоторую многоугольную область содержащуюся между контурами обоих многоугольников (А) и (В) (см. рис. 14) и имеющую площадь .

Допустим теперь, обратно, что контур (К) может быть заключен в многоугольную область (С) с площадью где любое наперед заданное положительное число. При этом, без умаления общности, можно предположить, что (С) не покрывает всей фигуры (Р). Тогда из точек области (Р), не попадающих внутрь (С), составится многоугольная область (А), содержащаяся в (Р); если же к (А) присоединить (С), то получится многоугольная область (В), уже содержащая в себе (Р). Так как разность то - по критерию п° 335 - отсюда следует квадрируемость области (Р).

Для облегчения речи условимся говорить, что (замкнутая или незамкнутая) кривая имеет площадь 0, если ее можно покрыть многоугольной областью с произвольно малой площадью. Тогда приведенное выше рассуждение позволяет сформулировать следующее условие квадрируемости:

для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур (К) имел площадь 0.

Рис. 17.

В связи с этим приобретает важность выделение широких классов кривых с площадью 0.

Прежде всего легко показать, что этим свойством обладает любая непрерывная кривая, выражаемая явным уравнением вида

- непрерывные функции).

Пусть, например, мы имеем дело с первым из этих уравнений. По заданному можно промежуток разложить на части так, чтобы в каждой из них колебание функции было [87]. Если обозначить, как обычно, через наименьшее и наибольшее значения функции промежутке, то вся наша кривая покроется фигурой, составленной из прямоугольников

(см. рис. 17) с общей площадью

что и требовалось доказать. Значит, кривая (5) имеет площадь 0. Отсюда следует:

Если фигура (Р) ограничена несколькими непрерывными кривыми, каждая из которых порознь выражается явным уравнением (5) (того или другого типа), то эта фигура квадрируема.

Действительно, поскольку каждая из упомянутых кривых имеет площадь 0, то и весь контур, очевидно, также будет иметь площадь 0.

Из этого критерия можно получить другой, более частный, критерий, который на практике, однако, оказывается более удобным.

Назовем кривую, заданную параметрическими уравнениями

гладкой, если 1) функции и имеют непрерывные производные во всем промежутке изменения параметра, и 2) на кривой нет ни кратных, ни вообще особых точек. В случае замкнутой кривой, потребуем еще равенства

Установим теперь, что гладкая кривая имеет площадь 0.

Возьмем на кривой любую точку М, определяемую значением параметра. Так как эта точка - не особая, то, как мы видели [223], существует такой промежуток:

что соответствующий участок кривой может быть выражен и явным уравнением.

Применим теперь лемму Бореля [88] к промежутку и к покрывающей его системе окрестностей; весь промежуток перекроется конечным числом таких окрестностей, так что кривая распадается на конечное число частей, каждая из которых выражается явным уравнением (5) (того или другого типа). Остается лишь сослаться на доказанное выше. Итак, если фигура (Р) ограничена одной или несколькими гладкими кривыми, то она заведомо квадрируема.

Заключение это сохраняет силу даже в том случае, когда кривая имеет конечное число особых точек: выделив эти точки с помощью окрестностей произвольно малой площади, мы будем иметь дело уже с гладкими кривыми.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление