Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

338. Выражение площади интегралом.

Обратимся теперь к вычислению площадей плоских фигур при помощи интегралов.

На первом месте рассмотрим, впервые - в строгом изложении, уже встречавшуюся нам задачу об определении площади криволинейной трапеции (рис. 18). Эта фигура ограничена сверху кривой имеющей уравнение

где есть положительная и непрерывная в промежутке функция: снизу она ограничена отрезком оси х, а с боков - двумя ординатами (каждая из которых может свестись к точке). Собственно, существование площади Р рассматриваемой фигуры следует из доказанного в предыдущем п°, и речь идет лишь об ее вычислении.

С этой целью разобьем промежуток как обычно, на части, вставив между а и ряд точек

Обозначив через соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции промежутке составим суммы (Дарбу)

Рис. 18.

Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямоугольников (см. рисунок). Поэтому

Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе суммы имеют своим пределом интеграл следовательно, ему и равна искомая площадь

Если криволинейная трапеция ограничена и снизу и сверху кривыми (рис. 19), уравнения которых

то, рассматривая ее как разность двух фигур и получим площадь названной трапеции в виде

Пусть теперь дан сектор АОВ (рис. 20), ограниченный кривой и двумя радиусами-векторами ОА и ОВ (каждый из которых может свестись и к точке). При этом кривая задается полярным уравнением где положительная непрерывная в промежутке функция. И здесь вопрос стоит лишь о вычислении площади Р сектора, так как существование площади обусловлено свойствами контура фигуры.

Вставив между (см. рисунок) значения

проведем соответствующие этим углам радиусы-векторы. Если ввести и здесь наименьшее и наибольшее из значений функции то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры

Рис. 19.

Рис. 20.

Составим отдельно из входящих секторов и из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут

и, очевидно,

В этих суммах легко узнать суммы Дарбу для интеграла при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе они имеют пределом этот интеграл, так что и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление