Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

339. Примеры.

1) Определить площадь Р фигуры, ограниченной цепной линией осью и двумя ординатами, отвечающими абсциссам

Имеем

где - длина дуги цепной линии [331, 1)]. Таким образом, искомая площадь оказалась равной площади прямоугольника, построенного на отрезках и (ибо ).

Рис. 21.

2) Даны эллипс и точка на нем (рис. 21). Определить площадь криволинейной трапеции и сектора

Из уравнения эллипса имеем так что по формуле (7)

Так как последнее слагаемое представляет площадь то, отнимая ее, для площади сектора получим выражение

При для площади четверти эллипса найдем значение — так что площадь всего эллипса Для круга и получается известная формула

3) Пусть даны гипербола и на ней точка (рис. 22).

Определить площадь криволинейных фигур

Из уравнения гиперболы имеем и - по формуле (7) -

Так как то это выражение можно представить в более симметричной форме

Отсюда уже легко получить

Замечание. Полученный результат позволит нам несколько углубить аналогию между тригонометрическими (круговыми) и гиперболическими функциями.

Рис. 22.

Сопоставим круг радиуса внобочную гиперболу: (рис. 23, а и б). Эти кривые параметрически могут быть представлены так:

Но в то время как в случае круга ясна геометрическая роль - это для гиперболы так истолковать числовой параметр невозможно. Можно, однако, для круга дать и другое истолкование параметра именно: есть удвоенная площадь сектора (или площадь сектора Оказывается, что это истолкование переносится и на случай гиперболы.

В самом деле, если координаты точки М суть

то Если вспомнить найденную выше для формулу и положить в ней то получим, что равно удвоенной площади сектора (как и для круга).

Итак, в круге отрезки и представляют круговые синус и косинус от удвоенной площади кругового сектора а для гиперболы аналогичные отрезки выражают гиперболические синус и косинус от удвоенной площади гиперболического сектора Роль

гиперболических функций по отношению к гиперболе вполне аналогична роли круговых (тригонометрических) функций по отношению к кругу.

Рис. 23.

С указанным истолкованием аргумента гиперболических функций, как некоей площади, связаны и обозначения обратных им функций [см. 49, 3) и 4)],

Буквы являются начальными от латинского слова означающего «площадь».

4) Найти площадь Р фигуры, ограниченной осями координат и параболой

Ответ: (Читателю самому предоставляется сделать чертеж.)

Рис. 24.

5) Определить площадь фигуры, заключенной между двумя конгруентными параболами (рис. 24).

Очевидно, нужно воспользоваться формулой (8), полагая там

Для установления промежутка интегрирования решим совместно данные уравнения и найдем абсциссу точки М пересечения обеих парабол, отличной от начала: она равна Имеем

6) Найти площадь Р эллипса, заданного уравнением

Решение. Из этого уравнения

причем получают вещественные значения лишь для удовлетворяющих неравенству

т. е. содержащихся в промежутке , где

Тогда искомая площадь будет

7) Пусть, наконец, эллипс задан общим уравнением

требуется найти его площадь Р.

Задача эта может быть сведена к предыдущей.

Если перенести начало в центр эллипса, определяемый, как известно, из уравнений

то уравнение примет вид

где

Исключая из равенств (11) и (12), найдем

откуда

Полученное уравнение легко приводится к виду, рассмотренному в 6), если положить

Значит, площадь эллипса будет

8) Формула (7) может быть использована и в том случае, если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями вида (6). Произведя замену переменной в интеграле (7), получим (в предположении, что при или

Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его параметрического представления

и учесть, что х возрастает от - а до а, когда убывает от до 0, то найдем

Мы вычислили здесь площадь верхней половины эллипса и удвоили ее.

9) Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой Имеем по формуле (13)

Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади обра зующего круга.

10) Найти площадь одного витка архимедовой спирали (рис. 25).

Имеем по формуле (9)

в то время как площадь круга радиуса будет Площадь витка спирали равна трети площади круга (этот результат был известен еще Архимеду).

Предоставляем читателю показать, что площади фигур, заключенных между последовательными витками, составляют арифметическую прогрессию с разностью

Найти площадь улитки

Имеем по формуле (9)

В частности, площадь кардиоиды равна .

12) Найти площадь лемнискаты

Рис. 25.

Достаточно удвоить площадь правого овала, которому отвечает изменение угла от до

13) Найти площадь декартова листа

Перейдем к полярным координатам. Полагая в уравнении кривой

по сокращении на придем к такому полярному уравнению;

Так как самый виток кривой отвечает изменению угла от 0 до то по формуле (9)

Заменяя через , приведем подинтегральное выражение к виду

откуда сразу находится первообразная функция

Таким образом,

14) Решить задачу 6) наново, воспользовавшись полярными координатами. Решение. Вводя полярные координаты, представим уравнение (10) эллипса

Тогда по формуле (9) сразу получаем [309, 9)]

Площадь всего эллипса мы здесь приравняли удвоенной площади той его части, которая лежит в I и IV координатных углах. Какие затруднения встретились бы при использовании результата 10) 288 для вычисления непосредственно всей площади эллипса?

15) Формулу (9) можно приспособить к случаю, когда кривая задана своими параметрическими уравнениями вида (6). Так как

то

Если изменению угла от а до отвечает изменение параметра от до , то

Ввиду большей симметричности эта формула зачастую приводит к более простым выкладкам. Например, если по ней вычислить плошадь эллипса, исходя из его параметрических уравнений то получим

16) Вычислим еще по формуле (14) площадь астроиды Имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление