Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

340. Определение понятия объема. Его свойства.

Наподобие того, как в 335, исходя из понятия площади многоугольника, было установлено понятие площади для произвольной плоской фигуры, мы сейчас дадим определение объема тела, опираясь на объем многогранника.

Итак, пусть дано произвольной формы тело (V), т. е. ограниченная замкнутая область в трехмерном пространстве. Границей тела пусть служит замкнутая поверхность (или несколько таких поверхностей).

Мы будем рассматривать многогранники (X) объема X, целиком содержащиеся в нашем теле, и многогранники (У) объема содержащие в себе это тело. Существует всегда точная верхняя граница К для X и точная нижняя граница V для причем ; их можно было бы назвать, соответственно, внутренним и внешним объемами тела.

Если обе границы

совпадают, то их общее значение V называется объемом тела (У).

В этом случае тело (V) иногда называют кубируемым.

И здесь легко видеть, что для существования объема необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись такие два многогранника (X) и (У), для которых .

Далее:

Если тело разложено на два тела то из существования объема для двух из этих трех тел вытекает существование объема для третьего. При этом

т. е. и объем обладает свойством аддитивности.

Легко перефразировать для объемов и те предложения 1), 2), 3), которые в 336 были доказаны для площадей.

1) Для того чтобы тело (V) имело объем, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последовательности, соответственно, входящих и выходящих многогранников объемы которых имели бы общий предел

Этот предел и будет объемом тела

Полезно отметить и такое предложение, где вместо многогранников фигурируют произвольные тела, заведомо имеющие объемы.

2) Если для тела можно построить такие две последовательности, соответственно, входящих и выходящих тел которые имеют объемы, причем эти объемы стремятся к общему пределу

то и тело (К) имеет объем, равный упомянутому пределу.

В заключение упомянем о возможности выбирать многогранники, приближающиеся к рассматриваемому телу, «стандартным» образом. Заключив тело внутрь некоторого прямоугольного параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям, разобьем его на части с помощью ряда плоскостей, параллельных его граням. Из частичных параллелепипедов, входящих в составим тело (X), а присоединив к ним и частично выходящие из параллелепипеды, получим тело Эти тела представляют частные случаи тех многогранников (X) и (У), о которых была речь выше. Будем обозначать через наибольшую из диагоналей тех прямоугольных параллелепипедов, на которые был разложен параллелепипед

3) Если при оба объема X и стремятся к общему пределу V и только в этом случае тело будет иметь объем; при выполнении этого условия упомянутый предел и выразит объем тела

Доказательство всех этих утверждений мы предоставляем читателю; их легко скопировать с рассуждений п° 336.

(страница пропущена)

окружить точку на плоскости такой окрестностью

чтобы соответствующий участок поверхности выражался явным уравнением. Остается лишь применить к замкнутой области и к покрывающей ее системе окрестностей лемму Бореля [175], чтобы установить возможность разложения рассматриваемой гладкой поверхности на конечное число частей, каждая из которых выражается явным уравнением одного из трех типов. Отсюда - по предыдущему - следует, что гладкая поверхность имеет объем 0.

Теперь ясно, что тело, ограниченное одной или несколькими гладкими поверхностями, заведомо имеет объем.

Допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающей тело поверхности конечного числа особых точек, которые могут быть выделены окрестностями с произвольно малым объемом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление