Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

342. Выражение объема интегралом.

Начнем с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты Н, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура (Р), имеет объем, равный произведению площади основания на высоту:

Рис. 26.

Возьмем [336, 1)] многоугольники соответственно содержащиеся в (Р) и содержащие в себе (Р), так, чтобы их площади стремились к Р. Если на этих многоугольниках построить прямые призмы высоты Н, то их объемы

будут стремиться к общему пределу который в силу 1) п° 340 и будет объемом нашего цилиндра.

Рассмотрим теперь (рис. 26) некоторое тело содержащееся между плоскостями и станем рассекать его плоскостями,

перпендикулярными к оси х. Допустим, что все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе обозначим ее через будет непрерывной функцией от

Если спроектировать (без искажения) два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси х, то они могут либо содержаться одно в другом (как на рис. 27, а), либо частично одно на другое налегать или лежать одно вне другого (см. рис. .

Рис. 27.

Мы остановимся сначала на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси х, оказываются всегда содержащимися одно в другом.

В этом предположении можно утверждать, что тело (V) имеет объем, который выражается формулой

Для доказательства разобьем отрезок на оси х точками

на части и разложим плоскостями проведенными через точки деления, все тело на слои. Рассмотрим слой, содержащийся между плоскостями

В промежутке функция имеет наибольшее значение наименьшее значение от, если сечения, отвечающие различным значениям х в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, то все они (при сделанном предположении) будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь и содержать в себе наименьшее, с площадью от, Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты то больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании

сделанного вначале замечания объемы этих цилиндров будут, соответственно,

Из входящих цилиндров составится тело (7), а из выходящих - тело их объемы равны, соответственно,

и, когда стремится к нулю имеют общий предел (15). В силу 340, 2) таков же будет и объем тела (К).

Рис. 28.

Важный частный случай, когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположении сечений, представляют тела вращения. Вообразим на плоскости кривую, заданную уравнением где непрерывна и неотрицательна; станем вращать ограниченную ею криволинейную трапецию вокруг оси х (рис. 28, а и б). Полученное тело очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо сечения его проектируются на перпендикулярную к оси х плоскость в виде концентрических кругов. Здесь

так что

Если криволинейная трапеция ограничена и снизу и сверху кривыми то, очевидно,

хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться. Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие тела,

которые получаются путем сложения или вычитания из тел, удовлетворяющих упомянутому предположению.

В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело (V) имеет объем, то он выражается формулой (15).

В самом деле, задавшись произвольным мы можем между плоскостями построить такие два тела, (X) и (У), составленные из параллелепипедов, чтобы первое содержалось в (V), а второе содержало в себе (V), и притом было Так как к этим телам формула наша, очевидно, приложима, то, обозначив через площади их поперечных сечений, будем иметь

С другой стороны, так как то и

так что объем V и интеграл оба содержатся между одними и теми же границами X и разнящимися меньше, чем на е. Отсюда и вытекает требуемое заключение.

Рис. 29.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление