Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

270. Интегрирование но частям.

Пусть будут две функции от х, имеющие непрерывные производные . Тогда, по правилу дифференцирования произведения, или Для выражения первообразной, очевидно, будет поэтому имеет место формула

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения и к интегрированию выражения

Пусть, например, требуется найти интеграл . Положим,

и, по формуле (3),

Таким образом, интегрирование по частям позволило заменить сложную подинтегральную функцию на простую Попутно для получения пришлось проинтегрировать выражение - отсюда и название: интегрирование по частям.

Применяя формулу (3) к вычислению предложенного интеграла, приходится разбивать подинтегральное выражение на два множителя: и и из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части. Нужно стараться, чтобы интегрирование дифференциала не представляло трудностей и чтобы замена и на и на в совокупности влекла за собой упрощение подинтегрального выражения. Так, в разобранном примере было бы явно невыгодно взять, скажем, .

При некотором навыке нет надобности вводить обозначения и можно сразу применять формулу

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Повторное применение правила интегрирования по частям приводит к так называемой обобщенной формуле интегрирования по частям.

Предположим, что функции имеют в рассматриваемом промежутке непрерывные производные всех порядков, до (и включительно:

Заменяя в формуле на будем иметь

Аналогично

Умножая эти равенства поочередно на или на -1 и складывая их почленно, по уничтожении одинаковых интегралов в правой и левой частях придем к упомянутой формуле:

Особенно выгодно пользоваться этой формулой, когда одним из множителей подинтегральной функции служит целый многочлен. Если и представляет собой многочлен степени, то тождественно равно нулю, и для интеграла в левой части получается окончательное выражение.

Перейдем к примерам.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление