Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

343. Примеры.

1) Вычислить объем V кругового конуса с радиусом основания и высотой

Проведем через ось конуса секущую плоскость и выберем эту ось за ось х, считая начальной точкой вершину конуса; ось у проведем перпендикулярно к оси конуса (рис. 29). Уравнение образующей конуса будет

и - по формуле (16) - получим

Результат этот известен читателю из школьного курса.

2) Пусть эллипс вращается вокруг оси х. Так как

то для объема эллипсоида вращения найдем

Аналогично для объема тела, полученного от вращения вокруг оси у, найдем выражение — Предполагая же в этих формулах мы получим для объема шара радиуса известное значение

3) Определить объем тела, полученного от вращения цепной линии — вокруг оси х, между сечениями, соответствующими точкам 0 и х.

Имеем

Вспоминая [331, 1)], что — есть длина дуги s нашей кривой, окончательно получим

4) То же - для ветви циклоиды

Параметрические уравнения кривой облегчают выполнение подстановки в формуле

Именно:

5) То же для астроиды

Имеем

Предлагается повторить вычисления, исходя из параметрических уравнений астроиды и прибегнув к замене переменной (как в предыдущей задаче).

6) Найти объем общей части параболоида и сферы

Решение. Вместе с обоими этими телами и общая часть их будет телом вращения вокруг оси Пересечение указанных поверхностей происходит по плоскости

Плоскости, перпендикулярные к оси z, пересекают рассматриваемое тело по кругам; квадраты радиусов этих кругов равны пока лишь только z становится . Пользуясь формулой, аналогичной (16), будем иметь

7) Найти объем общей части сферы к конуса

Указание. Пересечение поверхностей происходит по плоскости

Имеем

До сих пор мы рассматривали примеры применения частной формулы (16). Перейдем теперь к общей формуле (15). Так как самое существование объема во всех случаях легко может быть обосновано, например, исходя из соображений п° 341, то мы на этом останавливаться не будем и займемся лишь вычислением объема.

8) Определить объем цилиндрического отрезка. Так называют геометрическое тело, отсекаемое от прямого кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания (рис. 30).

Положим, что основание цилиндра есть круг радиуса а:

и что секущая плоскость проходит через диаметр и составляет угол а с плоскостью основания. Определим площадь сечения, перпендикулярного к оси х и пересекающего ее в точке Это сечение будет прямоугольным треугольником; очевидно,

так что по формуле (15)

где есть высота цилиндрического отрезка.

Интересно отметить, что тот же объем можно было бы получить, заставив ось у играть ту роль, какую до сих пор играла ось х, т. е. рассекая тело плоскостями, перпендикулярными оси у (рис. 31).

Рис. 30.

Рис. 31.

Такая плоскость, проведенная через точку М с ординатой у, пересечет наше тело по прямоугольнику площадь которого будет

Поэтому, аналогично (15), а

9) Найти объем трехосного эллипсоида, заданного каноническим уравнением

(рис. 32).

Плоскость, перпендикулярная к оси и проходящая через точку на этой оси, пересечет эллипсоид по эллипсу; уравнение проекции его (без искажения) на плоскость будет таково:

Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно,

а площадь [см. 339, 2), 8), 15)] выразится так:

Таким образом, по формуле (15) искомый объем

10) Найти объем эллипсоида, отнесенного к центру,

Рис. 32.

Решение. Если фиксировать z, то уравнение соответствующего сечения (или - вернее - его проекции на плоскость будет

где положено

По 339, 7), площадь этого сечения равна

если через А обозначить определитель

где

Подставляя, получим

Очевидно, z может изменяться лишь в пределах

интегрируя в этих пределах, найдем окончательно

11) Рассмотрим два круговых цилиндра радиуса оси которых пересекаются под прямым углом, и определим объем тела, ограниченного ими.

Тело изображенное на рисунке 33, составляет восьмую часть интересующего нас тела. Ось х проведем через точку О пересечения осей цилиндров перпендикулярно к обеим осям. Тогда в сечении тела плоскостью, проведенной на расстоянии х от 0, перпендикулярно к оси х, получится квадрат сторона которого так что . Тогда по формуле (15)

12) Решим, в заключение, ту же задачу, но в предположении, что цилиндры имеют различные радиусы:

Рис. 33.

Разница, по сравнению с прежним, будет лишь в том, что, вместо квадрата, в сечении рассматриваемого тела плоскостью на расстоянии х от О получится прямоугольник со сторонами Таким образом, в этом случае объем V выразится уже эллиптическим интегралом

или, если сделать подстановку и положить

Займемся сведением интеграла I к полным эллиптическим интегралам обоих видов. Прежде всего

Но

С другой стороны, интегрируя по частям, имеем

Отсюда

Таким образом, окончательно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление