Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

344. Площадь поверхности вращения.

Пусть имеем на плоскости (именно, в верхней полуплоскости) некоторую кривую (рис. 34), заданную уравнениями вида (6), где - непрерывные функции с непрерывными же производными Предполагая отсутствие особых и кратных точек на кривой, мы можем ввести в качестве параметра дугу отсчитываемую от точки и перейти к представлению

Параметр s изменяется здесь от 0 до если через обозначить длину всей кривой

Если вращать кривую вокруг оси х, то она опишет некоторую поверхность вращения. Поставим своей задачей - вычислить площадь этой поверхности.

Мы лишены возможности установить здесь в общем виде понятие площади «кривой» (т. е. неплоской) поверхности; это будет

сделано в третьем томе. Сейчас же мы определим это понятие специально для поверхности вращения и научимся вычислять ее площадь, причем будем исходить из данных еще в школьном курсе правил вычисления боковых поверхностей цилиндра, конуса и усеченного конуса. Впоследствии мы убедимся, что полученная нами формула входит как частный случай в общую формулу для площади кривой поверхности.

Возьмем на кривой в направлении от А к В ряд точек (см. рис. 34)

и рассмотрим ломаную вписанную в кривую. Станем вместе с кривой вращать вокруг оси х эту ломаную; она опишет некоторую поверхность, площадь которой мы умеем определять по правилам элементарной геометрии. Условимся под площадью поверхности, описанной кривой, разуметь предел Р площади поверхности, описанной ломаною, при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг. Это определение площади поверхности вращения дает нам ключ к ее вычислению.

Рис. 34.

Мы уже знаем, что ряд точек (19) может быть получен, исходя из ряда возрастающих значений вставленных между 0 и

Каждое звено ломаной при вращении вокруг оси х будет описывать поверхность усеченного конуса. Если обозначить ординаты точек соответственно через а длину звена через то площадь поверхности, описываемой звеном, будет

Площадь же поверхности, описываемой всей ломаной линией, будет

Полученную сумму можно разбить на две суммы следующим образом:

Так как функция непрерывна, то (по свойству равномерной непрерывности) можно предположить нашу кривую разложенной на столь мелкие части, что все разности по абсолютной величине не превзойдут произвольно малого положительного числа е. Тогда

отсюда следует, что эта сумма стремится к нулю при Что касается суммы:

то ее можно разложить на две суммы:

Так как функция непрерывна, то она ограничена, так что все где М - некоторое постоянное число. Обозначая последнюю сумму через имеем

При дроблении кривой на все более и более мелкие части разность

по определению длины дуги, как предела периметра вписанной ломаной, должна стремиться к нулю. Но тогда и

Оставшаяся сумма

является интегральной суммой для интеграла

который вследствие непрерывности функции существует, так что при сумма о стремится к этому интегралу.

Мы получаем окончательно, что - при сделанных предположениях - площадь поверхности вращения существует и выражается формулой

Если вернуться к общему параметрическому заданию (6) нашей кривой, то, произведя в предшествующем интеграле замену переменной [см. 313, (9)], преобразуем его к виду

В частности, если кривая задана явным уравнением так что в роли параметра оказывается х, будем иметь

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление