Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

345. Примеры.

1) Определить площадь поверхности шарового пояса. Пусть полукруг, описанный около начала радиусом вращается вокруг оси х. Из уравнения круга имеем ; далее,

В таком случае площадь поверхности пояса, описанного дугой, концы которой имеют абсциссы по формуле (22) будет

где А есть высота пояса. Таким образом, площадь поверхности шарового пояса равна произведению окружности большого круга на высоту пояса.

В частности, при , т. е. при получаем площадь всей шаровой поверхности

2) Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги цепной линии концы которой имеют абсциссы

Так как то по формуле (22) а

где V - объем соответствующего тела вращения [см. 343, 3)].

3) То же для астроиды

Достаточно удвоить площадь поверхности, описанной дугой астроиды, лежащей в 1 квадранте Мы имели уже

в таком случае по формуле (21)

4) То же для циклоиды

Так как

5) Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.

Следует в основной формуле (21) перейти к полярным координатам:

В нашем случае и

поэтому

6) То же для лемнискаты

Здесь так что по формуле (23)

Наконец,

7) определим поверхность эллипсоида вращения как вытянутого, так и сжатого (сфероида).

Если эллипс вращается вокруг оси то имеем последовательно

Но где с - расстояние фокуса от центра и — равно эксцентриситету эллипса. Таким образом,

и

но так что окончательно имеем

Если эллипс вращается вокруг малой оси, то для того, чтобы удобнее было воспользоваться уже произведенными выкладками, мы будем считать, что ось х и служит малой осью. Тогда в полученном для выражении нужно лишь обменять а и местами, так что теперь

в таком случае

но так что окончательное выражение для Р будет такое

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление