Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

346. Площадь цилиндрической поверхности.

Рассмотрим еще один частный тип кривой поверхности, для которой мы также здесь определим понятие площади (предвосхищая то общее определение, которое будет дано лишь впоследствии).

Рис. 35.

Мы имеем в виду цилиндрическую поверхность.

Вернемся к кривой на плоскости о которой была речь в 344. Приняв ее за направляющую, представим себе цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси z (рис. 35). По этой поверхности проведем кривую которая с каждой образующей пересекается в одной точке; эта кривая определится, если к уравнениям (6) присоединить еще третье

Речь идет о вычислении площади Р части цилиндрической поверхности «под этой кривой».

Как и в п° 344, введем дугу s в качестве параметра; тогда не только уравнения (6) кривой заменятся уравнениями (18), но и уравнение (24) перейдет в

Вписав в кривую ломаную и, в соответствии с этим, в кривую - ломаную (см. рисунок), из трапеций составим призматическую поверхность, вписанную в рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Под площадью этой последней будем понимать здесь предел Р площади упомянутой призматической поверхности при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг.

Полагая имеем (сохраняя в остальном прежние обозначения)

С помощью таких же соображений, что и в 344 (провести их полностью читатель сможет сам), вопрос приводится к вычислению предела суммы

в которой легко узнать интегральную сумму. Окончательно

Возвращаясь к произвольному параметру легко получить и общую формулу

Наконец, для случая явного задания кривой эта формула перепишется так:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление