Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

347. Примеры.

1) Пусть на рис. 36 кривая представляет собой параболу с вершиной в точке В. Ее уравнение (при обозначениях рисунка)

Построенная на ней цилиндрическая поверхность пересечена плоскостью с уравнением

Найти площадь Р части цилиндрической поверхности.

Решение. По формуле (26)

2) Если кривая будет четвертью окружности воспользоваться формулой (26) - безоговорочно - нельзя, ибо при производная обращается в Прибегнув к параметрическому представлению

мы по общей формуле (25) будем иметь

Рис. 36.

Если вернуться к цилиндрическому отрезку, о котором была речь в 343, 8), то боковая поверхность его, как следует из полученного только что результата, окажется равной

3) Наконец, решим ту же задачу в предположении, что кривой будет четверть эллипса

[Явным уравнением здесь не следует пользоваться по той же причине, что и выше].

(а) Пусть сначала Вводя эксцентриситет -эллипса по формуле (25), получим

(подстановка и окончательно

(б) В случае эксцентриситет

4) Рассмотрим часть цилиндрической поверхности ограниченной сферой кривая, получающаяся в пересечении [кривая Вивиани, 229, 1)], как мы знаем, может быть представлена параметрически так:

Если ограничиться первым октантом, то здесь надлежит изменять от 0 до

Очевидно, первые два уравнения играют роль уравнений а последнее - уравнения (24).

Площадь упомянутой поверхности по формуле (25) будет

5) Определить площадь поверхности тела, общего двум цилиндрам радиуса оси которых пересекаются под прямым углом Введем систему координат, как на рис. 33.

Ограничиваясь одной из цилиндрических поверхностей, для первого октанта имеем

и, наконец,

По формуле (25) половина искомой площади равна

6) Та же задача - но для случая, когда цилиндры имеют различные радиусы

Вычислим сначала площадь части цилиндрической поверхности радиуса Имеем

По формуле (25)

Обращаясь теперь к цилиндрической поверхности радиуса обменяем ролями ось и ось у. На этот раз

причем может изменяться (если, как всегда, ограничиться первым октантом) лишь от 0 до . Тогда, по формуле, аналогичной (25), получим

Подстановка

где изменяется от 0 до дает

С последним интегралом мы уже встречались в 343, 12); он равен

Таким образом,

Окончательно

Этим исчерпываются простейшие геометрические приложения определенного интеграла. С вычислением геометрических протяжений в более сложных и более общих случаях мы встретимся в третьем томе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление