Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Вычисление механических и физических величин

348. Схема применения определенного интеграла.

Прежде чем перейти к применениям определенного интеграла в области механики, физики и техники, полезно наперед уяснить себе тот путь, по которому в прикладных вопросах обычно приходят к определенному интегралу. С этой целью мы набросаем общую схему применения интеграла, иллюстрируя ее примерами уже изученных геометрических задач.

Рис. 37.

Вообразим, что требуется определить некоторую постоянную величину (геометрическую или иную) связанную спромежутком При этом пусть каждому частичному промежутку содержащемуся в отвечает некоторая часть величины так, что разложение промежутка на частичные промежутки влечет за собой разложение на соответствующие части и величины

Точнее говоря, речь идет о некоторой «функции от промежутка» обладающей «свойством аддитивности»; это значит, что, если промежуток состоит из частичных промежутков то тогда и

Задача же состоит в вычислении ее значения, отвечающего всему промежутку

Для примера возьмем на плоскости кривую (рис. 37). Тогда 1) длина кривой площадь Р ограниченной ею криволинейной трапеции объем V тела, полученного от вращения этой трапеции вокруг оси х, - все три являются величинами указанного типа. Нетрудно дать себе отчет в том, какие «функции от промежутка» ими порождаются.

Рассмотрим «элемент» величины отвечающий «элементарному промежутку» Исходя из условий вопроса, стараются найти для приближенное выражение вида линейное относительно так чтобы оно разнилось от разве лишь на бесконечно

конечно малую порядка высшего, чем Иными словами, из бесконечно малого (при ) «элемента» выделяют его главную часть. Ясно, что тогда относительная погрешность приближенного равенства

будет стремиться к нулю вместе с

Так, в примере 1) элемент дуги можно заменить отрезком касательной так что из выделяется линейная часть

В примере 2) естественно заменить элементарную полоску входящим прямоугольником с площадью

Наконец, в примере 3) из элементарного слоя выделяется его главная часть в виде входящего кругового цилиндра, с объемом

Во всех трех случаях нетрудно показать, что погрешность от такой замены будет бесконечно малой высшего порядка, чем Именно, в случае 1) она будет меньше в случае 2) - меньше а в случае 3) - меньше

Лишь только это сделано, можно уже утверждать, что искомая величина точно выражается интегралом

Для пояснения этого разложим промежуток точками на элементарные промежутки

Так как каждому промежутку или отвечает элементарная часть нашей величины, приближенно равная то вся искомая величина приближенно выразится суммой

Степень точности полученного значения будет тем выше, чем мельче частичные промежутки, так что очевидно, будет пределом упомянутой суммы, т. е. действительно выразится определенным интегралом

Это в полной мере относится ко всем трем рассмотренным примерам. Если выше мы получили формулы для величин несколько иначе, то это потому, что задача наша состояла не только в вычислении их, но доказательстве их существования - в согласии с ранее данными определениями.

Таким образом, все дело сводится к установлению приближенного равенства (1), из которого непосредственно получается окончательный результат (2).

Обыкновенно, впрочем, вместо пишут , а равенство (1) для «элемента» величины записывают в форме

Затем «суммируют» эти «элементы» (на самом деле беря интеграл!), что и приводит к формуле (2) для всей величины

Мы подчеркиваем, что пользование здесь интегралом, вместо обыкновенной суммы, весьма существенно. Сумма давала бы лишь приближенное выражение для ибо на ней отразились бы погрешности отдельных равенств типа (3); предельный же переход, с помощью которого из суммы получается интеграл, уничтожает погрешность и приводит к совершенно точному результату. Итак, сначала в интересах простоты, в выражении элемента отбрасываются бесконечно малые высших порядков и выделяется главная часть, а затем, в интересах точности, суммирование заменяется интегрированием, и просто получаемый результат оказывается точным.

Впрочем можно было бы подойти к вопросу и с иной точки зрения. Обозначим через переменную часть величины отвечающую промежутку причем естественно, полагаем равным 0. Ясно, каким образом рассмотренная выше «функция промежутка» выражается через эту «функцию точки»

В наших примерах функциями точки являются: 1) переменная дуга площадь переменной трапеции и, наконец, 3) объем тела, полученного от вращения именно этой трапеции.

Величина есть попросту приращение функции а произведение представляющее собой его главную часть, есть не что иное, как дифференциал этой функции [103, 104]. Таким образом, равенство (3), написанное в дифференциальных обозначениях, на деле является не приближенным, а точным, если только под разуметь именно Отсюда также сразу получается требуемый результат:

Отметим все же, что в приложениях более удобной и плодотворной является идея суммирования бесконечно малых элементов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление