Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой.

Как известно, статический момент М материальной точки массы относительно некоторой оси равен произведению массы на расстояние точки от оси. В случае системы материальных точек с массами лежащих в одной плоскости с осью, соответственно, на расстояниях от оси, статический момент выразится суммой

При этом расстояния точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся со знаком плюс, а расстояния точек по другую сторону - со знаком минус.

Рис. 38.

Если же массы не сосредоточены в отдельных точках, но расположены сплошным образом, заполняя линию или плоскую фигуру, то тогда для выражения статического момента вместо суммы потребуется интеграл.

Остановимся на определении статического момента М относительно оси х масс, расположенных вдоль некоторой плоской кривой (рис. 38). При этом мы предположим кривую однородной, так что ее линейная плотность (т. е. масса, приходящаяся на единицу длины) будет постоянной; для простоты допустим даже, что (в противном случае придется полученный результат лишь умножить на ). При этих предположениях масса любой дуги нашей кривой измеряется просто ее длиной, и понятие статического момента приобретает чисто геометрический характер. Заметим вообще, что когда говорят о статическом моменте (или центре тяжести) кривой - без упоминания о распределении вдоль по ней масс, - то всегда имеют в виду статический момент (центр тяжести), определенный именно при указанных предположениях.

Выделим теперь какой-нибудь элемент кривой (масса которого также выражается числом Приняв этот элемент приближенно за материальную точку, лежащую на расстоянии у от оси, для его статического момента получим выражение

Суммируя эти элементарные статические моменты, причем за независимую переменную возьмем дугу отсчитываемую от точки А, мы получим

Аналогично выражается и момент относительно оси у

Конечно, здесь предполагается, что у (или х) выражено через Практически в этих формулах выражают через ту переменную ( или ), которая играет роль независимой в аналитическом представлении кривой.

Статические моменты кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести Точка С обладает тем свойством, что если в ней сосредоточить всю «массу» кривой (выражаемую тем же числом, что и длина), то момент этой массы относительно любой оси совпадает с моментом кривой относительно этой оси; в частности, если рассмотреть моменты кривой относительно осей координат, то найдем

откуда

Из формулы для ординаты центра тяжести мы получаем замечательное геометрическое следствие. В самом деле, имеем

но правая часть этого равенства есть площадь Р поверхности, полученной от вращения кривой [см. 344, 20)], в левой же части равенства обозначает длину окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении ее около оси есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим к следующей теореме Гульдина (P. Guldin):

Величина поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести С кривой (рис. 38)

Эта теорема позволяет установить координату центра тяжести кривой, если известны ее длина и плошадь Р описанной ею поверхности вращения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление