Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

350. Примеры.

1) Найти статический момент обвода эллипса относительно оси х (предполагая а

Для верхнего (или нижнего) полуэллипса этот момент только отсутствием множителя отличается от величины соответствующей поверхности вращения. Поэтому [см. 345, 7)]

2) Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой прямой, то центр тяжести дуги необходимо лежит на этой прямой.

Для доказательства примем ось симметрии за ось у, а точку ее пересечения с кривой - за начальную точку для отсчета дуг. Тогда функция окажется нечетной функцией от s и, если на этот раз длину всей кривой обозначить через будем иметь [см. 314, 9)]

откуда и

3) Пользуясь теоремой Гульдина, определить положение центра тяжести дуги (рис. 39) круга радиуса

Так как эта дуга симметрична относительно радиуса проходящего через ее середину М, то ее центр тяжести С лежит на этом радиусе, и для полного определения положения центра тяжести необходимо лишь найти его расстояние от центра О. Выбираем оси, как указано на рисунке, и обозначим длину дуги через а ее хорды - через От вращения рассматриваемой дуги вокруг оси х получается шаровой пояс, площадь поверхности Р которого, как мы знаем [345, 1)], равна По теореме Гульдина та же поверхность равна

В частности, для полуокружности

4) Определить центр тяжести ветви циклоиды

Если принять в расчет симметрию, то сразу ясно, что . Учитывая же результаты примера легко получить затем .

5) В тех случаях, когда наперед ясно положение центра тяжести, теоремой Гульдина можно воспользоваться для определения площади поверхности вращения.

Рис. 39.

Рис. 40.

Пусть, например, требуется определить величину поверхности кольца (тор а), т. е. тела, образованного вращением круга около оси, не пересекающей его (рис. 40). Так как очевидно, что центр тяжести окружности совпадает с ее центром, то (при обозначениях рисунка) имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление