Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры.

Рассмотрим плоскую фигуру (рис. 41), ограниченную сверху кривой которая задана явным уравнением Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что поверхностная плотность их (т. е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Без существенного умаления общности можно тогда принять, что , т. е., что масса

любой части нашей фигуры измеряется ее площадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.

Желая определить статические моменты этой фигуры относительно осей координат, мы выделим, как обычно, какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (см. рисунок). Приняв эту полоску приближенно за прямоугольник, мы видим, что масса ее (выражаемая тем же числом, что и площадь) будет Для определения соответствующих элементарных моментов предположим всю массу полоски сосредоточенной в ее центре тяжести (т. е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет величины статических моментов.

Рис. 41.

Полученная материальная точка отстоит от оси х на расстоянии — у, от оси у - на расстоянии последнее выражение можно заменить просто через х, ибо отброшенная величина — умноженная на массу дала бы бесконечно малую высшего порядка. Итак, имеем

Просуммировав эти элементарные моменты, придем к результатам

причем под у разумеется, конечно, функция фигурирующая в уравнении кривой

Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты центра тяжести фигуры. Если через Р обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести

откуда

И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы для ординаты центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем

Правая часть этого равенства выражает объем V тела, полученного от вращения плоской фигуры около оси х [342 (16)], левая же часть выражает произведение площади этой фигуры Р на - длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина.

Объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры:

Заметим, что формулы (7), (8) распространяются на случай фигуры, ограниченной кривыми и снизу и сверху (рис. 19). Например, для этого случая

отсюда ясно уже, как преобразуются формулы (8). Если вспомнить формулу (8) п° 338, то легко усмотреть, что теорема Гульдина справедлива также и для этого случая.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление