Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

352. Примеры.

1) Найти статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой осью х и ординатой, соответствующей абсциссе х.

Так как то по формулам (7)

С другой стороны, площадь [338, (7)]

В таком случае по формулам (8)

Пользуясь значениями легко найти - по теореме Гульдина - объем тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг конечной ординаты. Например, если остановиться на последнем случае, так как расстояние центра тяжести от оси вращения есть то искомый объем будет

2) Найти центр тяжести первого квадранта эллипса воспользовавшись результатами 339, 2) и 343, 2).

По теореме Гульдина

3) Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры необходимо лежит на этой оси.

Докажем это для случая фигуры, ограниченной снизу и сверху кривыми Если взять ось симметрии за ось у, то обе функции окажутся четными; промежуток же изменения х в этом случае будет иметь вид . Тогда, по второй из формул (7а) [см. 314, 9)]

4) Найти центр тяжести фигуры, ограниченной ветвью циклоиды и осью х.

Воспользовавшись 339, 9) и 343, 4), по теореме Гульдина легко установить: По симметрии

5) То же для фигуры, ограниченной двумя параболами (см. рис. 24).

Вспоминая пример 5), 339, по формуле (7а) находим

6) Подобно первой теореме Гульдина [ср. 350, 5)] и вторая теорема также может быть использована в том случае, когда положение центра тяжести ясно, для определения объема соответствующего тела вращения. Например, для тора (рис. 40) получается объем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление