Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

271. Примеры.

Дифференцирование приводит к упрощению, поэтому полагаем

и

Принимая во всех случаях получим

Имеем

Таким образом, мы привели искомый интеграл к уже известному [270 (4)]; подставляя его значение, получим

В общей сложности здесь правило интегрирования по частям пришлось применить двукратно.

Так же, повторным применением этого правила, вычисляются интегралы

где - целый относительно x многочлен.

4) Если воспользоваться обобщенной формулой интегрирования по частям, то можно получить сразу общие выражения для интегралов этого вида.

Полагая будем иметь

Поэтому, считая многочленом степени, по формуле (5) получим

Аналогично, если взять то

Отсюда формула

Подобным же образом устанавливается и формула

5) . Имеем

и мы свели дело к интегралу 1). Окончательно

Так, последовательно, вычисляется интеграл

где к — любое вещественное число Если применить к этому интегралу формулу интегрирования по частям, положив то получим рекуррентную формулу

по которой вычисление рассматриваемого интеграла сводится к вычислению интеграла такого же типа, но с меньшим на единицу показателем при

Впрочем, подстановка приводит рассматриваемый интеграл к виду уже изученному в 3) и 4).

6) Любопытный пример представляют интегралы

Если к ним применить интегрирование по частям (в обоих случаях взяв, скажем, то получим

Таким образом, каждый из этих интегралов оказался выражением через другой

Однако если в первую формулу подставить выражение второго интеграла из второй формулы, то придем к уравнению относительно первого интеграла, из которого он и определится:

Аналогично находим и второй интеграл

7) В качестве последнего примера применения метода интегрирования по частям выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла

Применим к нему формулу (3), полагая

Мы получим

Последний интеграл можно преобразовать следующим образом:

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к соотношению

откуда

Полученная формула сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла с меньшим на единицу значком. Зная интеграл

[267, 9) (б); мы берем одно из его значений], по этой формуле, при найдем

[что мы выше получили другим путем, см. 269, 8)]. Полагая в формуле мы получим далее

и т. д. Таким образом можно вычислить интеграл для любого натурального показателя и.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление