Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

353. Механическая работа.

Из элементарной механики читателю известно, что если сила, приложенная к двужущейся точке М, сохраняет постоянную величину и постоянный угол с направлением перемещения точки, то работа А этой силы на перемещении s точки выразится произведением где обозначает угол между направлениями силы и перемещения точки. Произведение очевидно, представляет собой проекцию силы на перемещение вводя эту проекцию, можно выражение для работы представить в виде Если направление силы совпадает с направлением перемещения точки, то в случае же, когда оба направления прямо противоположны,

Вообще говоря, однако, и величина силы и угол ее с направлением перемещения могут не оставаться постоянными. При непрерывном изменении хоть одной из этих величин для выражения величины работы приходится прибегнуть снова к определенному интегралу.

Пусть путь проходимый точкой, будет независимой переменной: при этом предположим, что начальному положению А нашей точки М соответствует значение а конечному В - значение (рис. 42). Каждому значению s в промежутке отвечает определенное положение движущейся точки, а также определенные значения величин и которые, таким образом, можно рассматривать как функции от Взяв точку М в каком-нибудь ее положении, определяемом значением s пути, найдем теперь приближенное выражение для элемента работы, соответствующего приращению пути, от s до при котором точка М перейдет в близкое положение М (см. рисунок). В положении М на точку действует определенная сила под определенным углом так как изменение этих величин при переходе точки из М в М - при малом - также мало, пренебрежем этим изменением и, считая величину силы и угол приближенно постоянными, найдем для элемента работы на перемещении выражение

так что вся работа А представится интегралом

Рис. 42.

Из этого общего выражения для работы силы ясно, что при работа обращается в нуль; действительно, при этом так что подинтегральная функция оказывается нулем. Таким образом, сила, перпендикулярная к направлению перемещения, механической работы не производит.

Если действующую на точку силу разложить (по правилу параллелограмма) на две составляющие - по касательной к пути, т. е. по направлению перемещения, и по нормали к нему, то, согласно сказанному, работу будет производить лишь касательная составляющая

Положим теперь, что есть равнодействующая всех приложенных к точке сил; тогда, по закону движения Ньютона, касательная составляющая равна произведению массы точки на ее ускорение а, и выражение для работы А можно написать в виде

Вспомним теперь, что

в таком случае

где через и V обозначены величины скорости, соответственно, в конечной и начальной точках пути.

Как известно, — есть живая сила или кинетическая энергия точки; таким образом, мы пришли к важному предложению: механическая работа А, произведенная силой, под действием которой происходило движение точки, равна приращению кинетической энергии точки. (Разумеется, работа А и приращение кинетической энергии могут одновременно оказаться и отрицательными). Этот принцип, который можно распространить и на системы материальных точек, и на сплошные тела, играет в механике и физике очень важную роль. Его называют «законом живой силы».

Рис. 43.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление