Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

354. Примеры.

1) Применим в виде примера формулу (9) к вычислению работы растяжения (или сжатия) пружины с укрепленным одним концом (рис. 43); с этим приходится иметь дело, например, при расчете буферов у железнодорожных вагонов.

Известно, что растяжение s пружины (если только пружина не перегружена) создает натяжение , по величине пропорциональное растяжению, так что где с - некоторая постоянная, зависящая от упругих свойств пружины («жесткость» пружины). Сила, растягивающая пружину, должна преодолевать это натяжение. Если учитывать только ту часть действующей силы, которая на это затрачивается, то ее работа при возрастании растяжения от 0 до выразится так:

Обозначив через Р наибольшую величину натяжения (или преодолевающей ее силы), соответствующую растяжению пружины (и равную мы можем представить выражение для работы в виде

Если бы к свободному концу пружины сразу была приложена сила Р (например, подвешен груз), то на перемещении ею была бы произведена вдвое большая работа Как видим, лишь половина ее затрачивается на растяжение пружины; другая половина пойдет на сообщение пружине с грузом кинетической энергии.

2) Пусть некоторое количество газа (пара) содержится в цилиндре (рис. 44) по одну сторону поршня, и предположим, что газ этот расширился и передвинул поршень направо. Поставим себе задачей определить работу, произведенную при этом газом. Если начальное и конечное расстояния поршня от левого дна цилиндра обозначить через давление (на единицу площади поршня) -

через , а площадь поршня - через , то вся сила, действующая на поршень, будет и работа, как мы знаем, выразится интегралом

Обозначая через V объем рассматриваемой массы газа, очевидно, будем иметь Нетрудно теперь перейти от переменной s к новой переменной V; мы получим

где и V, означают начальное и конечное значения объема V.

Рис. 44.

Если бы нам известно было давление как функция от объема V, то этим определилась бы работа А. Предположим сначала, что при расширении газа температура его остается постоянной, так что необходимая для его расширения энергия в виде тепла притекает извне; в этом случае процесс называют изотермическим. Считая газ «идеальным», по закону Бойля - Мариотта будем иметь: так что и для работы получаем значение V

Если обозначить через давления в начале и в конце процесса, то

Поэтому работу расширения, связанного с переходом от давления к давлению можно представить в виде

Наконец, вместо с в эти формулы можно подставить произведение

Часто бывает, однако, естественнее предположить, что во время расширения не происходит теплового обмена между газом и окружающей средой, и на производство работы затрачивается энергия самого газа, температура которого при этом понижается; такой процесс называется адиабатическим. В этом случае зависимость между давлением и объемом V рассматриваемой массы газа имеет вид

[эта зависимость будет выведена ниже, 361, 3)], где к есть характерная для каждого газа (пара) постоянная, всегда большая единицы. Отсюда и

Этот результат можно представить в более удобной форме, если вспомнить, что подставляя, придем к следующему выражению для работы:

Мы лишь для простоты рассуждения и наглядности предположили расширяющийся газ заключенным в цилиндр. Основная формула (10), равно как и полученные из нее частные формулы, сохраняют силу независимо от формы, которую имеет в каждый данный момент рассматриваемая масса газа. Разумеется, те же формулы выражают и работу сжатия газа от объема до объема (сопровождаемого повышением давления от до т. е. работу внешней силы, заставляющей газ сжиматься; работа самого газа в этом случае отрицательна!

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление