Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

355. Работа силы трения в плоской пяте.

Пятой вообще называют опорную часть вертикального вращающегося вала; неподвижная опора, в которой вращается пята, называется подпятником. В настоящем п° мы рассмотрим вопрос о мощности, затрачиваемой на преодоление трения в пятах, ограничиваясь простейшим случаем - плоской пяты.

Плоская пята представляет собой цилиндрическое тело, которое на подпятник опирается своим плоским основанием (рис. 45). Это основание имеет, вообще, форму кругового кольца, с внешним радиусом и внутренним радиусом в частном случае, при мы получаем сплошное круговое основание.

Обозначим через Р полное давление, передаваемое пятой, через - угловую скорость вращения вала, через - коэффициент трения, наконец, через - давление на единицу площади пяты в рассматриваемой ее точке. Не касаясь пока вопроса о распределении давления, отметим лишь одно очевидное обстоятельство: точки пяты, равноудаленные от ее центра О, находятся в одинаковых условиях, и в них давление должно быть одинаково. Таким образом, вообще можно считать функцией от радиуса-вектора Ниже будут указаны допущения, которые обычно делаются относительно этой функции: по одному условию она должна удовлетворять во всяком случае, именно полное давление на пяту должно уравновешиваться давлением Р со стороны вала.

Для того чтобы вычислить это полное давление, прибегнем снова к методу суммирования бесконечно малых элементов по схеме п° 348, причем за независимую переменную примем радиус изменяющийся от до Разбивая этот промежуток на части, мы в то же время можем разложить все кольцо на элементарные концентрические кольца, так что все давление Р сложится из элементарных давлений, соответствующих отдельным кольцам. Рассмотрим теперь кольцо, ограниченное окружностями радиусов (на рис. оно заштриховано). Площадь этого кольца есть отбрасывая бесконечно малую второго порядка можно принять эту площадь приближенно равной Если есть давление (на единицу площади) в точке, отстоящей от центра на расстояние то рассматриваемому кольцу отвечает элементарное давление

так что, суммируя, получаем равенство

Оно, повторяем, и выражает тот факт, что суммарное давление, распределенное по пяте, равно давлению со стороны вала.

Определим теперь момент М силы трения во вращающейся пяте относительно оси вращения. Рассмотрим снова элементарное кольцо, о котором шла речь выше; развивающаяся в нем сила трения, противодействующая вращению, будет

так что соответствующий ей элементарный момент выразится произведением из этой силы на плечо (общее для всех точек кольца)

Отсюда полный момент трения будет

Рис. 45.

Как известно из механики, работа А, производимая таким постоянным вращательным моментом М в одну секунду, получается умножением момента М на угловую скорость со вращения

Для того чтобы довести до конца вычисление работы А, теперь нужно сделать те или иные допущения относительно закона распределения на поверхности пяты.

Самым простым является предположение, что давление распределяется равномерно, т. е. что Величина этой постоянной определяется из условия (11). Впрочем, в этом случае непосредственно ясно, что если давление Р равномерно распределяется по площади кольца то на единицу площади придется давление

Подставляя это значение вместо в (12), найдем далее

В частности, для сплошной пяты будем иметь:

Однако эти результаты прилагают лишь к новым, не обтершимся еще пятам. Дело в том, что при вращении вала точки пяты, дальше отстоящие от центра О, движутся с большей скоростью, в них работа трения больше и, соответственно, больше и изнашивание как пяты, так и подпятника; благодаря этому часть давления перелагается на более близкие к центру части пяты. Для старых приработавшихся пят обычно допускается, что давление на них распределяется так, что работа трения (на единицу площади), а с нею и изнашивание, всюду сохраняют постоянную

величину. Разделив элементарную работу на площадь элементарного кольца, запишем наше допущение в виде

итак, мы предполагаем, что изменяется обратно пропорционально расстоянию от центра. Подставляя с вместорг в условие (11), найдем величину этой постоянной

Наконец, заменив и в полученным выражением, придем к такому результату:

Для сплошной же пяты

Легко видеть, что потеря мощности на трение в случае приработавшихся пят меньше, чем в случае новых пят.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление