Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов.

Приведем еще ряд задач, решаемых методом суммирования бесконечно малых элементов.

1) Найти формулу для выражения статического момента М тела (У) относительно данной плоскости, если известны площади поперечных сечений тела параллельно этой плоскости (в функции расстояния х от нее). Плотность предполагается равной единице.

При обозначениях п° 342, масса (объем) элементарного слоя тела на расстоянии х от плоскости есть его статический момент так что, суммируя, получим

Расстояние центра тяжести тела от данной плоскости выразится так:

В частности, для тела вращения

Если применить этот результат (а) к круговому конусу и к полусфере, то найдем, что расстояние центра тяжести от основания составит (а) — высоты, — радиуса.

2) Найти формулу для выражения статического момента М поверхности вращения относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения. «Поверхностная плотность» предполагается равной единице.

Примем ось вращения за ось х, а за начало координат возьмем точку пересечения ее с упомянутой плоскостью. При обозначениях п° 344 масса (площадь) элементарного кольцевого слоя на расстоянии s от начала дуги есть его статический момент и, окончательно,

В частности, если вращающаяся кривая задана явным уравнением

Расстояние центра тяжести поверхности от данной плоскости будет

Применить последнюю формулу к поверхности (а) кругового конуса, полусферы.

Ответ. Расстояние центра тяжести от основания равно (а) — высоты, радиуса.

3) Определить статические моменты относительно координатных плоскостей для цилиндрической поверхности [346, рис. 35] и положение ее центра тяжести. Применить полученные формулы к боковой поверхности цилиндрического отрезка [343, 8)].

Ответ. Общие формулы

где - площадь поверхности. В предложенном примере: .

4) Моментом инерции (или квадратичным моментом) материальной точки массы относительно некоторой оси (или плоскости) называется произведение массы на квадрат расстояния от точки до оси (до плоскости).

Исходя из этого, предполагается найти выражение для момента инерции относительно оси у плоской фигуры в предположении, что «поверхностная плотность распределения масс есть единица.

Имеем

Например, для случаев, изображенных на рис. 47, получим:

в частности, при будет

в частности, при будет

5) Определить момент инерции тела (V), рассмотренного в задаче 1), относительно упомянутой там плоскости. Применить полученную формулу к вычислению момента инерции (а) кругового конуса, полусферы - относительно плоскости основания.

Рис. 46.

Ответ. в частности,

6) Давление жидкости на какую-нибудь площадку, расположенную на глубине под ее поверхностью, равно весу цилиндрического столба жидкости высоты имеющего эту площадку своим основанием. Таким образом, давление (в ) на глубине приходящееся на единицу площади, равно если у означает удельный вес жидкости

Предположим, что в жидкость вертикально погружена плоская фигура (рис. 46).

Найти полное гидростатическое давление на эту фигуру и его момент М (относительно свободной поверхности жидкости).

Элементарная площадка испытывает давление

момент которого относительно оси у равен

Отсюда

Первый интеграл, очевидно, представляет собой статический момент фигуры относительно оси у; второй же дает момент инерции фигуры относительно той же оси.

Рис. 47.

Если есть расстояние центра тяжести С фигуры от свободной поверхности, ее площадь, то можно написать, что Центр давления, т. е. точка приложения равнодействующей всего давления, от свободной поверхности отстоит на расстоянии

Приложим эти формулы к случаям, изображенным на рис. 47.

В случае а): Далее, так как в 4) мы уже вычислили то можем сразу написать . В частности, если (т. е. верхняя сторона прямоугольника лежит на уровне жидкости), имеем

В случае б): . Здесь [см. 4)]. Поэтому

7) Если в стенке резервуара, наполненного водой, на глубине под поверхностью воды имеется горизонтальная щель, то через нее вода будет вытекать со скоростью

Предположим теперь, что в стенке резервуара имеется прямоугольное отверстие (рис. 48). Требуется определить расход воды, т. е. объем воды вытекающий в 1 сек.

Рис. 48.

Рис. 49.

Элементарной полоске ширины на глубине х отвечает скорость так как ее площадь есть то расход воды через эту полоску выразится так: Суммируя, найдем

Фактический расход несколько менее вычисленного, ввиду наличия трения в жидкости и сжатия струи. Влияние этих факторов обыкновенно учитывают с помощью некоторого эмпирического коэффициента и пишут формулу в виде

При отсюда получается формула для расхода воды через прямоугольный водослив

Рис. 50.

8) Изучая магнитное поле тока, и Савар пришли к заключению, что сила, с которой ток действует на «магнитный заряд», может быть рассматриваема как равнодействующая сил, как бы исходящих от отдельных бесконечно малых «элементов тока». По установленному ими закону, элемент тока (рис. 49) действует на магнитный заряд помещенный в точке О, с силой

где I - сила тока, - расстояние , а - угол .

Сила эта направлена по перпендикуляру к плоскости, проходящей через О и и притом - в случае, изображенном на рисунке, - в сторону от читателя. При желании установить действие конечного отрезка тока на магнитный полюс, приходится суммировать эти элементарные силы.

Для примера определим силу, с которой действует на единицу «магнитного заряда» прямолинейный отрезок тока (рис. 50), при указанных на рисунке обозначениях.

Так как то можно представить в виде

Элементарные силы здесь можно непосредственно складывать, ибо они все имеют одно и то же направление. Поэтому

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление