Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения

357. Основные понятия. Уравнения первого порядка.

В главе VIII мы рассматривали задачу об определении функции по заданной ее производной

[или - что то же - по ее дифференциалу и учились производить операцию интегрирования или квадратуру, с помощью которой она решается,

В этом общем решении фигурирует постоянная С. Как мы видели на примерах [263, 264], если даны начальные условия

то этим определяется конкретное значение постоянной . Подставив его в (2), мы придем к частному решению нашей задачи, т. е. к конкретной функции которая не только имеет наперед заданную производную, но и удовлетворяет начальным условиям (3).

Часто, однако, приходится определять функцию из более сложных соотношений вида

связывающих значения независимой переменной х со значениями как самой искомой функции у, так и ее производных у, Такого рода соотношения вообще называются дифференциальными уравнениями.

Остановимся на уравнении первого порядка, содержащем лишь первую производную у,

Решением его является любая функция которая удовлетворяет ему тождественно относительно х. Как можно показать (при известных предположениях

относительно функции общее решение его, подобно упомянутому вначале простейшему случаю [см. (2)], и здесь также содержит произвольную постоянную С, т. е. имеет вид

Иногда, впрочем, это решение получается в неявной форме

Разыскание общего решения дифференциального уравнения, в той или иной форме называется интегрированием уравнения.

Для примера рассмотрим такую задачу: найти кривые, для которых поднормаль постоянна. Если представить себе такую кривую выраженной явным уравнением то вопрос сведется к разысканию таких функций, которые удовлетворяют условию где [230 (3)]. Перепишем его в виде теперь ясно, что общим решением его будет

Таким образом, поставленному требованию удовлетворяет целое семейство парабол, получающихся одна из другой смещением параллельно оси х.

Здесь ответ на задачу дает именно общее решение, поскольку требовалось разыскать все кривые, обладающие упомянутым свойством. Если бы в задаче было дополнительно указано, что кривая должна проходить через заданную точку подставив эти значения х и у в полученное уравнение (7), мы сможем определить значение С:

Полагая в (7) мы придем к частному решению выражающему уже конкретную кривую.

Нужно сказать, что чаще всего бывает именно так, что задача, приведшая к дифференциальному уравнению, требует конкретного частного решения. Обычно последнее определяется начальными условиями типа (3), выдвигаемыми самой задачей. По этим условиям, как и только что, прежде всего может быть установлено конкретное значение оно определится из уравнения, которое получится, если в общем решении (5) [или (6)] положить Если теперь в это общее решение подставить найденное решение вместо С, то и придем к тому частному решению, которое удовлетворяет задаче.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление