358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных.
Предположим теперь, что в уравнение (4) производная у входит в первой степени, т. е., что уравнение имеет вид
где 
суть функции от х и у. Полагая здесь 
можно представить уравнение в форме
которая часто более удобна.
Мы остановимся здесь подробнее лишь на тех простейших частных случаях уравнения (8), когда интегрирование его непосредственно сводится к квадратурам; рассмотрение этих случаев, таким образом, служит естественным дополнением главы VIII,
Если в уравнении (8) коэффициент Р на деле зависит только от 
а коэффициент 
- только от 
, т. е. если уравнение имеет вид
то говорят, что переменные отделены. В этом случае интегрирование производится очень просто.
Пусть функции 
непрерывны (в соответствующих промежутках).
Тогда 
будет дифференциалом функции 
- дифференциалом функции 
даже если под у разуметь функцию 
удовлетворяющую уравнению (9). В таком случае левая часть уравнения (9) представит собой дифференциал от суммы 
Так как этот дифференциал, в силу уравнения (9), равен 0, то сама функция сводится к постоянной
Легко видеть, что и обратно, если функция 
удовлетворяет (при любом 
этому уравнению, то удовлетворяется и уравнение (9). Равенство (10) дает общее решение уравнения (9).
При решении уравнения (9) иногда предпочитают члены с 
помещать в разных частях уравнения
Интегрируя каждую часть порознь и не забывая о произвольной постоянной, которую достаточно присоединить к одному из интегралов, придем к результату
тождественному с полученным выше.
Предположим, что требуется удовлетворить начальным условиям (3). Вместо того чтобы сначала находить общее решение, а затем подбирать постоянную С, исходя их этих условий, можно поступить проще: «просуммировать» элементарные величины (11), справа между 
а слева - между соответствующими им значениями 
. Мы получим равенство
которое и дает требуемое частное решение; самый вид его подчеркивает, что оно заведомо выполняется при 
Читатель легко уяснит себе, что этот прием лишь формой отличается от прежнего.
Пример 1): Пусть дано уравнение
Интегрируем
откуда
Таково общее решение предложенного уравнения. Если даны начальные условия, например 
при 
то, подставляя эти значения, сразу находим 
что приводит к частному решению
Как упоминалось, можно в этом случае избежать необходимости предварительно составлять общее решение, написав сразу
откуда
Часто случается, что хотя уравнение (8) и не имеет вида (9), но может быть преобразовано к этому виду, после чего интегрируется, как указано выше. Такое преобразование и носит название отделения переменных. Переменные легко отделяются в том случае, когда коэффициенты Р и 
представляют собой произведения множителей, зависящих каждый только от одной переменной, т. е. когда
Действительно, достаточно разделить обе части уравнения
на 
чтобы этим уже отделить переменные:
Пример 2): 
Уравнение имеет вид (12); отделяем переменные
и интегрируем
Потенцируя, определяем отсюда у
Полагая еще 
приведем общее решение к виду
