Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных.

Предположим теперь, что в уравнение (4) производная у входит в первой степени, т. е., что уравнение имеет вид

где суть функции от х и у. Полагая здесь можно представить уравнение в форме

которая часто более удобна.

Мы остановимся здесь подробнее лишь на тех простейших частных случаях уравнения (8), когда интегрирование его непосредственно сводится к квадратурам; рассмотрение этих случаев, таким образом, служит естественным дополнением главы VIII,

Если в уравнении (8) коэффициент Р на деле зависит только от а коэффициент - только от , т. е. если уравнение имеет вид

то говорят, что переменные отделены. В этом случае интегрирование производится очень просто.

Пусть функции непрерывны (в соответствующих промежутках).

Тогда будет дифференциалом функции - дифференциалом функции даже если под у разуметь функцию удовлетворяющую уравнению (9). В таком случае левая часть уравнения (9) представит собой дифференциал от суммы Так как этот дифференциал, в силу уравнения (9), равен 0, то сама функция сводится к постоянной

Легко видеть, что и обратно, если функция удовлетворяет (при любом этому уравнению, то удовлетворяется и уравнение (9). Равенство (10) дает общее решение уравнения (9).

При решении уравнения (9) иногда предпочитают члены с помещать в разных частях уравнения

Интегрируя каждую часть порознь и не забывая о произвольной постоянной, которую достаточно присоединить к одному из интегралов, придем к результату

тождественному с полученным выше.

Предположим, что требуется удовлетворить начальным условиям (3). Вместо того чтобы сначала находить общее решение, а затем подбирать постоянную С, исходя их этих условий, можно поступить проще: «просуммировать» элементарные величины (11), справа между а слева - между соответствующими им значениями . Мы получим равенство

которое и дает требуемое частное решение; самый вид его подчеркивает, что оно заведомо выполняется при Читатель легко уяснит себе, что этот прием лишь формой отличается от прежнего.

Пример 1): Пусть дано уравнение

Интегрируем

откуда

Таково общее решение предложенного уравнения. Если даны начальные условия, например при то, подставляя эти значения, сразу находим что приводит к частному решению

Как упоминалось, можно в этом случае избежать необходимости предварительно составлять общее решение, написав сразу

откуда

Часто случается, что хотя уравнение (8) и не имеет вида (9), но может быть преобразовано к этому виду, после чего интегрируется, как указано выше. Такое преобразование и носит название отделения переменных. Переменные легко отделяются в том случае, когда коэффициенты Р и представляют собой произведения множителей, зависящих каждый только от одной переменной, т. е. когда

Действительно, достаточно разделить обе части уравнения

на чтобы этим уже отделить переменные:

Пример 2):

Уравнение имеет вид (12); отделяем переменные

и интегрируем

Потенцируя, определяем отсюда у

Полагая еще приведем общее решение к виду

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление