Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

359. Задачи.

Рассмотрим ряд задач из различных областей знаний, непосредственно приводящих к дифференциальным уравнениям с отделяющимися временными.

1) Найти кривые, у которых отрезок нормали (до пересечения с осью сохраняет постоянную величину

Воспоминая выражение для и [230, (4)], записываем условие, которому должна удовлетворять искомая функция у от х, в виде дифференциального уравнения

Отсюда

Интегрируем:

Как и следовало ожидать, мы получили семейство окружностей радиуса с центром на оси х.

2) Найти кривые, у которых отрезок касательной до пересечения с осью х сохраняет постоянную величину а.

В силу 230 (4), дифференциальное уравнение задачи имеет вид

Полагая его легко преобразовать так:

или

Интегрируем:

мы получили семейство трактрис [ср. 331, 11)].

3) Закон охлаждения. Пусть охлаждающееся тело температуры 6° С окружено средой с температурой 0° С. Ньютон установил закон, по которому скорость охлаждения пропорциональна самой температуре , т. е.

где k - положительная постоянная. Определить закон, по которому убывает температура тела, начиная с момента

Имеем

откуда, интегрируя, найдем Очевидно, Полагая здесь видим, что С есть не что иное, как начальная температура Подставляя, придем к окончательной формуле

которая определяет температуру Тела в любой момент, если только она была известна в начальный момент

Коэффициент к зависит от свойств тела и среды; он определяется опытным путем.

4) Экстратоки размыкания и замыкания. Если в электрической цепи действует постоянное напряжение V, то, обозначая через сопротивление цепи и через I - силу тока, по закону Ома будем иметь Когда же напряжение V меняется (а также в момент размыкания или замыкания тока постоянного напряжения), во многих случаях имеет место явление самоиндукции, которое состоит в появлении дополнительной электродвижущей силы, пропорциональной скорости изменения силы тока — но имеющей обратный знак.

Таким образом, величину этой электродвижущей силы самоиндукции можно представить так: - где - «коэффициент самоиндукции»

Если налицо самоиндукция, то при размыкании тока его сила не сразу падает до нуля, а при замыкании - не сразу достигает своей нормальной величины. Исследуем эти явления аналитически.

Закон Ома теперь принимает следующую форму:

(а) Пусть постоянный ток силы в момент размыкается. Так как тогда то имеем

и (аналогично 3))

Этот ток, проходящий в цепи под действием одной лишь электродвижущей силы самоиндукции, называется экстратоком размыкания. С возрастанием его сила быстро стремится к 0, и через короткое время он становится неощутимым.

(б) Если цепь в момент замыкается, в ней начинает действовать постоянное напряжение V, то из уравнения (13), снова отделяя переменные, получим

Постоянную С определим из начальных условий при очевидно, , так что окончательно

Мы видим, что наряду с током отвечающим закону Ома, одновременно протекает в обратном направлении ток — Это и есть экстраток замыкания; его сила также быстро убывает с возрастанием

5) Уравнение химической реакции. Рассмотрим химический процесс, состоящий в превращении взаимодействующих веществ в вещества Для оценки количества вещества, участвующего в реакции, его выражают в грамм-молекулах или молях. Молем какого-нибудь вещества называется такое его весовое количество, которое выражается в граммах числом, равным его молекулярному весу. В моле любого вещества всегда содержится одно и то же количество молекул, независимо от вещества.

Если предположить, что во взаимодействие вступают на каждую молекулу одного вещества по одной молекуле другого, то на каждый моль одного придется один моль другого. По истечении времени от начала реакции, от каждого из взаимодействующих веществ вступит в реакцию одно и то же количество х молей.

Скорость возрастания х относительно времени, т. е. производная называется скоростью химической реакции.

Пусть в процессе участвуют два вещества А и В, первоначальные количества которых (в молях) обозначим через а и (при этом пусть, скажем, Через промежуток времени будем иметь количество вещества А и количество вещества В. Естественно допустить, что скорость химической реакции в момент пропорциональна произведению реагирующих масс, т. е. произведению количеств реагентов, не подвергшихся еще превращению. Это приводит к такому дифференциальному уравнению

Интегрируя, получим

Так как при мы должны иметь и то Подставляя это значение

При возрастании показательное выражение стремится к 0; через конечный промежуток времени оно становится настолько малым, что х практически уже не отличить от а, и реакция заканчивается.

6) Математический маятник. Пусть материальная точка массы подвешена на нерастяжимой нити или стержне длины (весом которых пренебрегаем) так, что может двигаться по дуге окружности (рис. 51). Эта система называется математическим маятником. Выведя маятник из положения равновесия в положение О В (а предоставим маятник самому себе, не сообщая ему начальной скорости.

Маятник перейдет в симметричное положение потом вернется в положение и т. д. Задача состоит в установлении характера колебаний маятника, т. е. в выяснении зависимости между углом и временем Для определенности рассмотрим движение точки М по дуге А В, отсчитывая пройденный путь от точки А, а время - от момента прохождения маятника через положение равновесия.

Разлагая силу тяжести действующую на точку М, как указано на рисунке, видим, что ее касательная составляющая

в то время как нормальная составляющая уничтожается сопротивлением нити или стержня. Если через обозначить скорость точки М, то ее кинетическая энергия в рассматриваемом положении будет — и сведется к 0 при переходе М в В. С другой стороны, работа А, произведенная силой на пути выразится так [352 (9а)]:

(здесь или, если перейти к переменной 0,

Рис. 51.

Тогда, по закону живой силы [352], имеем:

Так как то для определения зависимости между 0 и получаем дифференциальное уравнение

где переменные уже отделены.

Интегрируя слева от 0 до а справа от 0 до 0, приходим к искомой зависимости:

Однако, квадратура на этот раз в конечном виде не берется: как сейчас увидим, интеграл справа непосредственно приводится к эллиптическому интегралу 1-го рода.

Переписав (14) в виде

и положив введем новую переменную интегрирования по

формулам

при этом изменению от 0 до а отвечает изменение у от 0 до Тогда

Так как по первой из формул (15) легко выразить у через 0, то зависимость от в можно считать установленной.

Желая выразить, наоборот, в через мы нуждаемся в обращении эллиптического интеграла

Это равенство определяет и как монотонно возрастающую непрерывную (и даже дифференцируемую) функцию в промежутке которая и сама при этом изменяется от до . В таком случае [83] переменная оказывается однозначной функцией от и в промежутке ее Якоби обозначил через . Из (16) теперь ясно, что

Функцию и («синус амплитуды» или «эллиптический синус») обычно обозначают просто через и. Итак, окончательно, зависимость 0 от выражается равенством

Определим, в заключение, продолжительность Т одного размаха маятника из положения в положение она вдвое больше промежутка времени, нужного для перехода из в ОВ. Полагая в или в получим (после удвоения) выражение для Т через полный эллиптический интеграл рода:

Отметим, что период колебания Т на деле зависит от угла а, на который маятник первоначально был отклонен, ибо к зависит от а. Заменяя - при малых

углах а - модуль к нулем, получим простую приближенную формулу

которая обычно и приводится в элементарных курсах физики.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление