Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

361. Задачи.

1) Барометрическая формула. Поставим своей задачей установить зависимость между высотой места над уровнем моря и давлением воздуха

Вообразим над уровнем моря площадку в 1 мг и рассмотрим призматический столб воздуха, опирающихся на эту площадку. Давление воздуха в сечении этого столба на высоте обусловлено весом той части столба, которая опирается на упомянутое сечение. Увеличение высоты на бесконечно малую величину влечет за собой убыль давления - которая измеряется весом слоя воздуха между площадками (11) и (рис. 52)

где есть вес (в кг) воздуха под давлением р. Мы пренебрегаем здесь тем, что на деле s меняется при переходе от нижней площадки рассматриваемого слоя к верхней.

Как легко вывести из закона Бойля-Мариотта, величина у сама пропорциональна давлению так что окончательно

- уравнение уже знакомого нам типа задачи 3) и 4) (а)].

Отсюда

Рис. 52.

Если решить это уравнение относительно то получим формулу

позволяющую судить о высоте подъема над уровнем моря по давлению воздуха.

Постоянная как устанавливается в физике, равна (с округлением) , где - средняя температура воздуха. Если перейти к десятичным логарифмам (умножив и разделив на модуль и заменить отношение давлений отношением барометрических отсчетов то получим окончательную формулу

Эта формула годится и для определения разности высот любых двух точек, в которых показания барометра соответственно равны и

2) Трение канатов и ремней. Представим себе, что через неподвижно укрепленный цилиндрический барабан перекинут канат (ремень и т. п.), который прилегает к цилиндру по некоторой дуге (рис. 53 а), соответствующей центральному углу («угол обхвата»). Пусть к концу А каната приложена сила концу В - сила

Если между канатом и барабаном существует трение, то сила может уравновесить даже бблыную ее силу, приложенную на другом конце. Какова же та наибольшая сила которая при наличии трения может быть уравновешена данной силой

Для решения этого вопроса рассмотрим сначала, как распределится натяжение вдоль части каната в тот момент, когда лишь начинается скольжение. Что это натяжение не будет постоянным, явствует уже из того, что в точках А и В оно, соответственно, равно

Возьмем на дуге какую-нибудь точку М, положение которой определяется углом и установим, какие силы действуют на элемент каната, отвечающий центральному углу Прежде всего в точке М действует натяжение а в точке М - натяжение (рис. 536). Обе эти силы направлены по касательным к окружности барабана.

Рис. 53а.

Рис. 536.

Для того чтобы определить силу трения на рассматриваемом элементе, нужно вычислить нормальную силу прижимающую этот элемент к поверхности барабана. Она слагается из радиальных составляющих обоих натяжений, так что

Здесь можно отбросить произведение — как бесконечно малое высшего порядка и заменить — эквивалентной ему бесконечно малой — (что снова равносильно отбрасыванию бесконечно малой высшего порядка). Окончательно Так как сила трения пропорциональна этой нормальной силе, то, обозначая множитель пропорциональности (коэффициент трения) через получим Трение противодействует начинающемуся движению, так что сила вместе с натяжением в точке М должны уравновешивать натяжение в точке М, откуда Мы снова получили дифференциальное уравнение знакомого типа. Можно сразу написать его решение (с учетом начального условия при Наконец, полагая здесь найдем . Эта важная формула принадлежит Эйлеру.

3) Формула Пуассона (S. D. Poisson). Предложим себе установить зависимость между объемом V и давлением одного моля идеального газа при

адиабатическом процессе (т. е. в случае полного отсутствия теплового обмена между газом и окружающей средой).

Состояние газа, кроме величин V и , характеризуется еще его (абсолютной) температурой Т. Впрочем эти величины не независимы; они связаны известной формулой Клапейрона

Установим, какое количество энергии в единицах тепла, нужно затратить, чтобы перевести газ из состояния в бесконечно близкое состояние

Процесс перехода можно представить себе состоящим из двух стадий. Во-первых, объем V газа увеличивается на и, во-вторых, температура Т газа - при постоянном объеме - изменяется на

Чтобы вычислить элементарную работу расширения газа, предположим для простоты, что рассматриваемая масса газа находится в цилиндре по одну сторону поршня [ср. 354, 2)]. Сила, действующая со стороны газа на поршень, будет где - площадь поршня. Если при расширении газа поршень сдвинулся на расстояние то работа, произведенная газом, будет равна или (так как Так выражается работа - в обычных единицах работы, например, в (если дано в Желая установить потраченное на эту работу тепло, нужно полученное выражение умножить на так называемый

«термический эквивалент работы» что даст

Изменение температуры на потребует , где с - есть теплоемкость газа при постоянном объеме. Складывая, получим

Исключить отсюда легко. Если продифференцировать формулу (17)

и определить

то остается лишь подставить это выражение в (18)

Можно показать, что есть как раз теплоемкость газа при постоянном давлении, так что окончательно

Вернемся теперь к сделанному вначале предположению, что процесс протекает адиабатически; тогда Таким образом, мы приходим к дифференциальному уравнению, связывающему и V,

Интегрируя, найдем или

Это и есть формула Пуассона.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление