Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ

§ 1. Введение

362. Основные понятия.

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

Составленный из этих чисел символ

называется бесконечным рядом, а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

указатель пробегает здесь все значения от 1 до

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;

их называют частными суммами (или отрезками) ряда. Эту последовательность частичных сумм мы всегда будем сопоставлять с рядом (2): роль этого символа и заключается в порождении упомянутой последовательности.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (2) при и

называют суммой ряда и пишут

придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е. если сумма равна либо же суммы вовсе нет) — расходящимся.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда (2), по определению, равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (3). Обратно, какую бы варианту наперед ни взять, вопрос о наличии для нее конечного предела может быть сведен к вопросу о сходимости ряда

для которого частичными суммами как раз и будут последовательные значения варианты:

При этом сумма ряда совпадает с пределом варианты.

Иными словами, рассмотрение бесконечного ряда и его суммы есть просто новая форма изучения варианты (или последовательности) и ее предела. Но эта форма, как читатель увидит из дальнейшего изложения, представляет неоценимые преимущества как при установлении самого существования предела, так и при его вычислении. Это обстоятельство делает бесконечные ряды важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление