Для доступа к данной книге необходима авторизация

Логин: пароль Запрос доступа

Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3

  

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 662 с.

Третий, заключительный том содержит подробное изложение таких разделов дифференциального и интегрального исчисления, как теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, элементы векторного анализа, теория функций ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса, ряды и интегралы Фурье. Использование простого геометрического языка значительно облегчает восприятие текста; вместе с тем многие сложные теоретические вопросы изложены полнее, чем в любом другом учебном издании. Особое внимание уделено приложениям общей теории: большое количество конкретных формул и фактов, примеров и задач как чисто математического, так и прикладного характера превращает «Курс. » в уникальное учебное пособие, полезное студентам негуманитарных вузов, которым оно непосредственно предназначено, а также математикам, физикам, инженерам и другим специалистам, использующим математику в своей работе.



Оглавление

ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу.
545. Примеры.
§ 2. Криволинейные интегралы второго типа
547. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа.
548. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости.
549. Примеры.
550. Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной.
551. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов.
552. Примеры.
553. Связь между криволинейными интегралами обоих типов.
554. Физические задачи.
§ 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути
556. Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути.
557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную.
558. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной в случае прямоугольной области.
559. Обобщение на случай произвольной области.
560. Окончательные результаты.
561. Интегралы по замкнутому контуру.
562. Случай неодносвязной области или наличия особых точек.
563. Интеграл Гаусса.
564. Трехмерный случай.
565. Примеры.
566. Приложение к физическим задачам.
§ 4. Функции с ограниченным изменением
568. Классы функций с ограниченным изменением.
569. Свойства функций с ограниченным изменением.
570. Критерии для функций с ограниченным изменением.
571. Непрерывные функции с ограниченным изменением.
572. Спрямляемые кривые.
§ 5. Интеграл Стилтьеса
574. Общие условия существования интеграла Стилтьеса.
575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса.
576. Свойства интеграла Стилтьеса.
577. Интегрирование по частям.
578. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.
579. Вычисление интегралов Стилтьеса.
580. Примеры.
581. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.
582. Теорема о среднем, оценки.
583. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.
584. Примеры и дополнения.
585. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса.
ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла
587. Сведение двойного интеграла к повторному.
588. Определение двойного интеграла.
589. Условия существования двойного интеграла.
590. Классы интегрируемых функций.
591. Нижний и верхний интегралы, как пределы.
592. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов.
593. Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование по области.
§ 2. Вычисление двойного интеграла
595. Примеры.
596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области.
597. Примеры.
598. Механические приложения.
599. Примеры.
§ 3. Формула Грина
601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов.
602. Примеры и дополнения.
§ 4. Замена переменных в двойном интеграле
604. Примеры.
605. Выражение площади в криволинейных координатах.
606. Дополнительные замечания.
607. Геометрический вывод.
608. Примеры.
609. Замена переменных в двойных интегралах.
610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области.
611. Примеры.
§ 5. Несобственные двойные интегралы
613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла.
614. Приведение двойного интеграла к повторному.
615. Интегралы от неограниченных функций.
616. Замена переменных в несобственных интегралах.
617. Примеры.
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двусторонние поверхности
619. Примеры.
620. Ориентация поверхностей и пространства.
621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали.
622. Случай кусочно-гладкой поверхности.
§ 2. Площадь кривой поверхности
624. Определение площади кривой поверхности.
625. Замечание.
626. Существование площади поверхности и ее вычисление.
627. Подход через вписанные многогранные поверхности.
628. Особые случаи определения площади.
629. Примеры.
§ 3. Поверхностные интегралы первого типа
631. Сведение к обыкновенному двойному интегралу.
632. Механические приложения поверхностных интегралов первого типа.
633. Примеры.
§ 4. Поверхностные интегралы второго типа
635. Простейшие частные случаи.
636. Общий случай.
637. Деталь доказательства.
638. Выражение объема тела поверхностным интегралом.
639. Формула Стокса.
640. Примеры.
641. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве.
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Тройной интеграл и его вычисление
643. Тройной интеграл и условия его существования.
644. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов
645. Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед.
646. Вычисление тройного интеграла по любой области.
647. Несобственные тройные интегралы.
648. Примеры.
649. Механические приложения.
650. Примеры.
§ 2. Формула Гаусса — Остроградского
652. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов.
653. Интеграл Гаусса.
654. Примеры.
§ 3. Замена переменных в тройных интегралах
656. Примеры.
657. Выражение объема в криволинейных координатах.
658. Дополнительные замечания.
659. Геометрический вывод.
660. Примеры.
661. Замена переменных в тройных интегралах.
662. Примеры.
663. Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку.
§ 4. Элементы векторного анализа
665. Скалярное и векторное поля.
666. Градиент.
667. Поток вектора через поверхность.
668. Формула Остроградского. Дивергенция.
670. Специальные поля.
671. Обратная задача векторного анализа.
672. Приложения.
§ 5. Многократные интегралы
674. Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл.
675. Замена переменных в n-кратном интеграле.
676. Примеры.
ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ
677. Периодические величины и гармонический анализ.
678. Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье.
679. Ортогональные системы функций.
680. Тригонометрическое интерполирование.
§ 2. Разложение функций в ряд Фурье
682. Первая основная лемма.
683. Принцип локализации.
684. Признаки Дин и и Липшица сходимости рядов Фурье.
685. Вторая основная лемма.
686. Признак Дирихле — Жордана.
687. Случай непериодической функции.
688. Случай произвольного промежутка.
689. Разложения только по косинусам или только по синусам.
690. Примеры.
691. Разложение ln Г(x).
§ 3. Дополнения
693. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексной переменной.
694. Примеры.
695. Комплексная форма рядов Фурье.
696. Сопряженный ряд.
697. Кратные ряды Фурье.
§ 4. Характер сходимости рядов Фурье
699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье.
700. Поведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай.
701. Случай произвольной функции.
702. Особенности рядов Фурье; предварительные замечания.
703. Построение особенностей.
§ 5. Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции
705. Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции.
706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-й производной.
707. Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным изменением
708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье.
709. Случай функции, заданной в промежутке
710. Метод выделения особенностей.
§ 6. Интеграл Фурье
712. Предварительные замечания.
713. Достаточные признаки.
714. Видоизменение основного предположения.
715. Различные виды формулы Фурье.
716. Преобразование Фурье.
717. Некоторые свойства преобразований Фурье.
718. Примеры и дополнения.
719. Случай функции двух переменных.
§ 7. Приложения
720. Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию.
721. Задача о колебании струны.
722. Задача о распространении тепла в конечном стержне.
723. Случай бесконечного стержня.
724. Видоизменение предельных условий.
725. Распространение тепла в круглой пластине.
726. Практический гармонический анализ.
727. Примеры.
728. Схема для двадцати четырех ординат.
729. Примеры.
730. Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов Фурье.
ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение)
§ 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и замкнутость
732. Почленное дифференцирование ряда Фурье.
733. Полнота тригонометрической системы.
734. Равномерная аппроксимация функций.
735. Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье.
736. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова.
737. Обобщенное уравнение замкнутости.
738. Умножение рядов Фурье.
739. Некоторые приложения уравнения замкнутости.
§ 2. Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье
741. Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона—Абеля.
742. Решение задачи Дирихле для круга.
743. Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро — Фейера.
744. Некоторые приложения обобщенного суммирования рядов Фурье.
745. Почленное дифференцирование рядов Фурье.
§ 3. Единственность тригонометрического разложения функции
747. Риманов метод суммирования тригонометрических рядов.
748. Лемма о коэффициентах сходящегося ряда.
749. Единственность тригонометрического разложения.
750. Заключительные теоремы о рядах Фурье.
751. Обобщение.
ДОПОЛНЕНИЕ. ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ
752. Различные виды пределов, встречающиеся в анализе.
753. Упорядоченные множества (в собственном смысле).
754. Упорядоченные множества (в обобщенном смысле).
755. Упорядоченная переменная и ее предел.
756. Примеры.
757. Замечание о пределе функции.
758. Распространение теории пределов.
759. Одинаково упорядоченные переменные.
760. Упорядочение с помощью числового параметра.
761. Сведение к варианте.
762. Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной.