Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

652. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов.

Пусть в некоторой открытой области (7) трехмерного пространства заданы непрерывные функции Взяв любую замкнутую поверхность лежащую в этой области и ограничивающую некоторое тело, рассмотрим поверхностный интеграл

Какому условию должны удовлетворять функции чтобы интеграл (6) всякий раз оказывался равным нулю?

Эта задача аналогична задаче об обращении в нуль криволинейного интеграла по замкнутому контуру [601, 641], которая легко разрешалась с помощью формулы Грина или Стокса. Здесь же мы прибегнем к формуле Остроградского, предполагая, конечно,

что для функций существуют и непрерывны те производные, которые фигурируют в этой формуле.

Однако для того чтобы иметь право преобразовать интеграл (6) по формуле Остроградского, необходимо и в настоящем случае наложить некоторое ограничение непосредственно на основную область (Т). Именно, нужно потребовать, чтобы, лишь только области (Т) принадлежит простая замкнутая поверхность ограничивающая извне тело (V), то и это тело также целиком содержится в указанной области. Область, обладающую этим свойством, называют («пространственно») односвязной [ср. 641]. Сущность этого типа односвязности состоит в отсутствии «дыр», хотя бы и точечных; по отношению к телу, не простирающемуся в бесконечность, можно было бы попросту потребовать, чтобы его границей служила одна-единственная замкнутая поверхность [ср. 659]. Поэтому, например, в отличие от сказанного по поводу «поверхностной» односвязности в 641, здесь тор будет односвязным телом, а полая сфера — нет.

Формула Гаусса—Остроградского сразу приводит к искомому условию:

Достаточность его очевидна, а необходимость легко доказывается с помощью дифференцирования тройного интеграла по области [644, 8°].

Аналогично случаю криволинейных интегралов, вопрос об обращении в нуль интеграла по замкнутой поверхности оказывается равносильным вопросу о независимости интеграла по незамкнутой поверхности, «натянутой» на данный контур, от формы поверхности. Останавливаться на этом не станем.

В заключение заметим, что если требование непрерывности функций и их производных нарушено в одной или нескольких точках области (Т), то и при выполнении равенства (В) интеграл (6) может оказаться отличным от нуля. Но в этом случае нетрудно установить, что интеграл (6) имеет одно и то же значение для всех замкнутых поверхностей (5), охватывающих определенную особую точку [ср. 562].

Все эти обстоятельства иллюстрируются на примере интеграла Гаусса, которому мы посвящаем следующий п°.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление