Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Замена переменных в тройных интегралах

655. Преобразование пространств и криволинейные координаты.

Идеи, развитые в п° 603 в связи с преобразованием плоских областей, естественно переносятся и на случай пространственных областей.

Пусть имеем пространство, отнесенное к системе прямоугольных координат и другое пространство с системой координат Рассмотрим две замкнутые области (D) и в этих пространствах, ограниченные соответственно поверхностями и (2), которые мы всегда будем предполагать кусочно-гладкими. Допустим, что эти области связаны между собой взаимно однозначным непрерывным соответствием, которое осуществляется формулами:

При этом, необходимо, точкам поверхности отвечают именно точки поверхности и наоборот.

Пусть функции (1) имеют в области непрерывные частные производные; тогда и якобиан

также является непрерывной функцией в . Мы и здесь п° 603] будем считать, что этот определитель всегда отличен от нуля, сохраняя определенный знак.

Если в области взять кусочно-гладкую поверхность:

(предполагая, что параметры изменяются в некоторой области Е на плоскости то формулы (1) преобразуют ее в кусочно-гладкую же поверхность в области Эта поверхность будет иметь уравнения

Ограничимся случаем гладкой поверхности (2): на ней особых точек нет, так что определяем:

одновременно в нуль не обращаются. Проверке подлежит лишь отсутствие особых точек и на поверхности (3).

По формуле (6) п° 204 имеем линейные равенства относительно величин (4):

Определитель, составленный из коэффициентов при этих величинах, т. е. из алгебраических дополнений к элементам определителя (2), — по известной теореме алгебры равен квадрату этого последнего и, следовательно, вместе с ним отличен от нуля. Если бы левые части написанных равенств в какой-нибудь точке одновременно обратились в нуль, то нулями были бы и все три определителя (5), что противоречило бы допущению.

Числа , однозначно характеризующие положение точки в пространстве называются криволинейными координатами этой точки. Точки пространства для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет существовать три семейства таких координатных поверхностей; через каждую точку области (D) проходит по одной поверхности каждого семейства.

Впрочем, все это будет так лишь в предположении строгой однозначности соответствия между областями (D) и . На практике эта однозначность часто нарушается.

Рис. 110.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление