Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

659. Геометрический вывод.

Вывод формулы (6) можно построить на чисто геометрических соображениях (которые и здесь впервые сформулировал М. В. Остроградский, ср. 609). Бесконечно малому прямоугольному параллелепипеду в пространстве с измерениями сопоставляется элементарное тело в пространстве между координатными поверхностями которое приближенно можно рассматривать как косоугольный параллелепипед. Его объем равен ушестеренному объему тетраэдра с вершинами в точках:

и по известной из аналитической геометрии формуле выражается (по абсолютной величине) определителем:

Суммируя эти отдельные «элементы объема», приходим к формуле (6).

Таким образом, существо дела и здесь в том, кто для определения объема тела оно разлагается на элементы не с помощью взаимно перпендикулярных плоскостей, а с помощью сетки координатных поверхностей.

В простых случаях выражение для «элемента объема» в криволинейных координатах может быть получено непосредственно.

Для примера в случае цилиндрических координат рассмотрим элементарную область (в пространстве ограниченную двумя цилиндрическими поверхностями радиусов двумя горизонтальными плоскостями, лежащими на высотах и двумя полуплоскостями, проходящими через ось и наклоненными к плоскости под углами (рис. 112а).

Рис. 112а.

Рис. 1126.

Считая приближенно эту область прямоугольным параллелепипедом, без труда находим, что измерения его суть так что объем его равен а якобиан, представляющий отношение этого объема к объему элементарного параллелепипеда в пространстве равен р.

Аналогично в случае сферических координат рассмотрим элементарную область (в пространстве ограниченную сферами радиусов конусами и и полуплоскостями 0 и (рис. 112б).

И эту область можно принять за прямоугольный параллелепипеде измерениями и, наконец, Так как дуга равна своей проекции а последняя описана радиусом и отвечает центральному углу то . В силу этого объем рассматриваемой области равен а якобиан есть .

Оба эти результата, найденные из элементарно-геометрических соображений, согласуются со сказанным в 656, 1) и 2).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление