Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Многократные интегралы

673. Задача о притяжении и потенциале двух тел.

Потребности анализа и его приложений не исчерпываются уже изученными типами определенных интегралов: простыми, двойными и тройными.

Проиллюстрируем это на примере задачи о притяжении двух тел. Будем обозначать через координаты точек первого тела, , а через — координаты точек второго тела, . Пусть в функции от этих координат заданы и плотности распределения масс в обоих телах: Если в каждом из тел выделить по элементу с массой, соответственно, то второй из них действует на первый по закону Ньютона с силой

где есть расстояние между элементами:

Так как эта сила направлена от точки к точке то ее направляющие косинусы будут

Поэтому проекция, скажем, на ось силы притяжения первого элемента вторым равна

Проекция же результирующей силы, с какой второе тело притягивает первое, получается суммированием найденных выражений по всем элементам обоих тел, т. е. выражается шестикратным интегралом

распространенным на шестимерную область точек где взято из из Так же выражаются и другие две проекции.

Аналогично этому величина

есть потенциал одного элемента на другой. Суммируя эти выражения, получим потенциал одного тела на другое, снова в виде шестикратного интеграла:

Если оба тела тождественны, то подобный интеграл, деленный на 2 (ибо иначе каждая пара элементов учитывалась бы дважды!), даст нам потенциал тела на себя.

Предложим себе для примера вычислить потенциал на себя однородной сферы , т. е. интеграл

Вычисление можно провести так. Потенциал сферы на элемент с координатами отстоящий на расстояние от центра, мы уже знаем [650, 12)]; он выражается тройным интегралом и равен

Остается еще просуммировать подобные выражения по всем элементам сферы , т. е. взять еще один тройной интеграл:

Это легко выполнить, переходя к сферическим координатам. Окончательно получим:

В данном случае вычисление шестикратного интеграла свелось к вычислению двух тройных интегралов, из которых один к тому же был уже известен.

Перейдем теперь к установлению относящихся сюда общих понятий, хотя в большинстве случаев придется ограничиться ссылкой на аналогию с изученными выше видами интегралов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление