Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Дополнения

692. Ряды с убывающими коэффициентами.

До сих пор мы исходили из наперед заданной функции и разлагали ее в ряд Фурье, пользуясь установленными для этого достаточными условиями. В немногих простых случаях удается, наоборот, по заданному тригонометрическому ряду установить, что он сходится к некоторой абсолютно интегрируемой функции и является ее рядом Фурье. Мы изложим относящиеся сюда исследования Юнга [W. Н. Young].

Речь будет идти о рядах вида:

причем мы раз навсегда предположим, что коэффициенты положительны и стремятся к нулю, монотонно убывая. Как мы знаем [см. конец п° 430], в любом замкнутом промежутке, не содержащем точек оба ряда сходятся равномерно. Обозначим сумму ряда (С) через а сумму ряда через обе функции имеют период и непрерывны повсюду, исключая точек вида . В этих исключительных точках ряд (С) может

и расходиться. Так как функция четна, нечетна, то достаточно ограничиться промежутком

1°. Если функция (или ) абсолютно интегрируема, то ряд (С) [или ] представляет собой ее ряд Фурье.

(а) Умножив разложение функции на

мы получим равномерно сходящийся в промежутке ряд. Действительно, так как

то

и сюда приложим признак Дирихле [429]. Мы использовали здесь элементарные неравенства

В таком случае ряд можно почленно проинтегрировать от 0 до к, и мы получим:

Переходя к функции умножим ее разложение на

Этот ряд также будет по признаку Дирихле равномерно сходящимся в промежутке . Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что

и потому

Использовано неравенство: Интегрируя почленно от 0 до , находим:

Перейдем здесь к пределу при При этом по предположению также стремится к нулю и последний интеграл — по основной лемме п° 682. Таким образом, получаем сначала

а затем и вообще

чем и завершается доказательство.

2°. Если ряд

сходится, то оба ряда (С) и определяют абсолютно интегрируемые функции следовательно, являются их рядами Фурье).

Так как рассуждения для обоих рядов однотипны, то мы ограничимся случаем ряда (С). Полагая

будем иметь последовательно:

мы переставили здесь два суммирования [393] и использовали очевидные равенства:

Пусть теперь

Для этих значений х представим в виде:

Первая сумма оценивается по абсолютной величине числом Для оценки второй применим к выражению

лемму Абеля [383]. Так как

то

Та же оценка в пределе сохраняется и для всей второй суммы, так что окончательно

В таком случае [см. (3) и (2)]

так что функция действительно абсолютно интегрируема. Остается применить 1°.

Как мы увидим ниже [732], сходимость ряда (2) является одновременно и необходимой для того, чтобы ряд был рядом Фурье, так что в отношении ряда полученный результат дальнейшему улучшению не подлежит. Иначе обстоит дело с рядом (С): здесь упомянутое условие отнюдь не необходимо. Мы приведем для этого случая еще и другое достаточное условие, которое не покрывается прежним.

3°. Если и разности — монотонно убывают с возрастанием то функция неотрицательна и интегрируема [а ряд (С) является ее рядом Фурье].

Подвергнем частичную сумму

преобразованию Абеля [383]. Учитывая (1), найдем:

Полученную сумму мы снова подвергнем преобразованию Абеля. Если для краткости положить и учесть, что

то приведется к виду:

Так как последние два члена стремятся к нулю при то, переходя к пределу, получим для разложение по неотрицательным и непрерывным функциям:

(коэффициенты неотрицательны по предположению). Отсюда ясно, что и функция неотрицательна.

Для доказательства интегрируемости этой функции воспользуемся следствием из п° 518 и замечанием к нему, перефразированным для рядов. Можно написать:

если только сходится этот ряд.

Так как

то непосредственно получаем:

так, что

Остается лишь убедиться в сходимости ряда справа.

Мы видели в 375, 3), что если ряд

с монотонно убывающими положительными членами сходится, то необходимо выполняется условие

Отсюда следует, далее, что ряд

сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (4): это видно из тождества

Если теперь взять то оказывается, что

и окончательно

Теорема доказана.

Например, условию этой теоремы удовлетворяет ряд

этот пример поучителен в том отношении, что теорема 2° к нему не применима, так как ряд

расходится [367, 69)].

Замечание. Если в рядах заменить переменную х на то получатся ряды с знакопеременными коэффициентами, убывающими по абсолютной величине. Для таких рядов доказанные теоремы также сохраняют силу.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление