Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции

704. Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных.

Рассмотрим функцию с периодом имеющую производные до порядка включительно. Первые из них, разумеется, будут непрерывными функциями; относительно производной предположим покуда, что она (абсолютно) интегрируема.

Обозначая по-прежнему через коэффициенты Фурье функции для производной коэффициенты Фурье мы будем обозначать через

Интегрируя по частям, найдем (для )

так что

аналогично

Если полученные формулы применить к коэффициентам и выражения последних через подставить в формулы для то окажется, что

Продолжая этот процесс, мы индуктивно установим окончательные формулы, в которых приходится различать случай четного и нечетного

Поставим себе задачей, пользуясь этими формулами, установить оценку для остатка ряда Фурье -кратно дифференцируемой функции, при тех или иных условиях, налагаемых на производную. В начале предыдущего параграфа мы изучали вопрос о равномерной сходимости ряда Фурье, т. е. о равномерном стремлении его остатка к нулю; здесь, правда, при более тяжелых предположениях, мы оказываемся в состоянии оценить даже быстроту этого стремления, установив порядок малости остатка в зависимости от дифференциальной природы функции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление