Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

715. Различные виды формулы Фурье.

Предполагая выполненными достаточные условия применимости формулы Фурье, будем считать для простоты, что в рассматриваемой точке х функция непрерывна или, если разрывна, то удовлетворяет условию

т. е. что рассматриваемая точка является регулярной [684]. Тогда во всяком случае имеем:

Ввиду того, что внутренний интеграл явно представляет собой четную функцию от эту формулу можно переписать и так:

Легко показать далее, что при сделанных в п° 712 [или п° 714] общих предположениях относительно функции существует и интеграл

Этот интеграл, к тому же, является непрерывной функцией от и, очевидно, нечетной. Хотя нельзя ручаться за существование для этой функции несобственного интеграла от до но он наверное

существует в смысле главного значения [484], причем

Умножая это равенство на и складывая с (12), придем к соотношению

где наружный интеграл понимается в смысле главного значения. В этом виде формула была впервые представлена Коши. Возвращаясь к формуле (11), напишем ее в виде

Если есть четная функция, то

и мы получим упрощенную формулу, содержащую лишь косинусы

Аналогично, в случае нечетной функции мы приходим к формуле, содержащей лишь синусы:

Пусть теперь функция задана лишь в промежутке и удовлетворяет в этом промежутке условиям, аналогичным тем которые раньше были поставлены по отношению ко всему промежутку Тогда, распространяя функцию на промежуток с помощью равенств

мы получим в первом случае четную, а во втором — нечетную функцию в промежутке Для положительных значений соблюдении соответствующих достаточных условий) мы можем, таким образом, пользоваться как формулой (14), так и формулой (15).

Если в точке предположить функцию непрерывной, то формула (14) и в этой точке приложима, ибо и продолженная четным образом функция сохранит здесь непрерывность. Формула же (15) вообще в точке неприложима: она воспроизводит значение лишь в том случае, если это значение есть нуль.

Эти соображения вполне аналогичны сказанному в п° 689 о рядах Фурье.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление