Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

722. Задача о распространении тепла в конечном стержне.

Пусть имеем тонкий однородный стержень длины расположенный между точками по оси х. Сечение стержня, площади о, мы считаем настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент можно приписать одну и ту же температуру. Боковая поверхность стержня предполагается изолированной от окружающей среды . В начальный момент

дано распределение температуры и вдоль стержня, характеризуемое функцией кроме того, указан тепловой режим, поддерживаемый на концах стержня. Задача состоит в определении температуры точек стержня, как функции от абсциссы точки х и времени

Рассмотрим элемент стержня между сечениями Количество тепла, которое за бесконечно малый промежуток времени пройдет через левое сечение внутрь элемента, выразится так [ср. 666, 2)]:

где есть «коэффициент внутренней теплопроводности» стержня; знак минус объясняется тем, что тепло переходит от более нагретых мест к менее нагретым. Аналогично этому через правое сечение вовне проходит за тот же промежуток времени количество тепла

изменив здесь знак, мы получим количество тепла, прошедшего через упомянутое сечение справа налево, т. е. внутрь элемента. Таким образом, общее количество тепла, накопившегося в выделенном элементе за промежуток времени будет:

Это количество можно подсчитать и иначе, исходя из того, что им обусловлено повышение температуры на - Если через сир обозначить, соответственно, теплоемкость и плотность вещества стержня, то затраченное на это тепло выразится так:

Приравнивая оба выражения, придем к основному дифференциальному уравнению теплопроводности:

где для краткости положено

[Впрочем, это уравнение можно было бы получить из общего уравнения

выведенного для пространства в п° 612, 3°, если считать и не зависящим ни от у, ни от

(а) Предположим сначала, что на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура-, скажем, 0. Это приводит к таким предельным условиям:

Выше мы упоминали уже о начальном условии:

причем в связи с предельными условиями необходимо предположить Для разыскания функции удовлетворяющей уравнению (12) и всем поставленным условиям, применим метод Фурье.

Пусть, как и выше, так что уравнение принимает вид:

если постоянное значение этих отношений положить равным , то уравнение разобьется на два:

и

Для того чтобы функция удовлетворяла предельным условиям, необходимо, чтобы было

так что X может принимать лишь значения (7), как и в предыдущей задаче Полагая получим такой, ряд частных решений:

Общее решение возьмем в форме ряда

Желая удовлетворить начальному условию, мы должны положить:

Если функция непрерывна и имеет ограниченное изменение, то для осуществления этого разложения достаточно взять:

На этот раз установление того факта, что формальное решение (16) является и действительным решением, не представляет затруднений. Наличие множителя

позволяет дифференцировать ряд (16) почленно — по t и дважды по х, ибо получающиеся ряды сходятся равномерно относительно и относительно

б) Пусть теперь на конце поддерживается постоянная температура а второй конец изолирован, так что через него никакого движения тепла не происходит. Этим предположениям отвечают предельные условия:

Начальное условие сохраняем в прежнем виде.

Удобнее, впрочем, ввести взамен и новую неизвестную функцию положив Для имеем, очевидно, такое же уравнение:

Запредельные условия заменятся более простыми:

Наконец, начальное условие преобразуется так:

Полагая, как обычно, получим для Т и X прежние выражения (14) и (15). Так как

то второе предельное условие даст а из первого получим:

так что на этот раз X может принимать значения

Окончательно приходим к таким частным решениям:

из которых и составляем общее решение

Начальное условие в этом случае приводит к разложению

не стандартного вида [ср. задачу 25) п° 690]. Легко, однако, показать, что при соблюдении обычных требований относительно функции это разложение в действительности имеет место при I

Итак, окончательно

при только что указанных значениях коэффициентов; то, что это — действительно решение, проверяется, как и в случае (а).

В частности, если имеем разложение:

По этой формуле, при и были вычислены значения и для различных t и х, и по ним построены приведенные на рис. 140 графики распределения температур в стержне в различные моменты времени.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление