Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

732. Почленное дифференцирование ряда Фурье.

Пусть в промежутке задана непрерывная функция удовлетворяющая условию и имеющая (исключая разве лишь отдельные точки в конечном числе) производную пусть, далее, эта производная сама оказывается абсолютно интегрируемой в названном промежутке. Тогда

[310, 481] и, как мы только что видели, ряд Фурье (1) функции получается из ряда Фурье функции

почленным интегрированием, так как при наложенных на условиях свободного члена в последнем разложении не будет:

В таком случае, очевидно, и обратно — ряд (7) для производной может быть получен из ряда (1), отвечающего данной функции почленным дифференцированием.

Мы обращаем особое внимание читателя на ту роль, которую здесь играет предположение о периодичности функции При нарушении этого условия свободный член ряда Фурье для был бы отличен от нуля, и уже по одному этому упомянутый ряд не мог бы быть получен из ряда (1) почленным дифференцированием! Например, в случае разложения (а — не целое)

[664, 7) (б)] почленное дифференцирование приводит к ряду

который заведомо никаким рядом Фурье быть не может, ибо его коэффициенты даже не стремятся к нулю [682].

Замечание. До сих пор мы говорили о возможности получения ряда Фурье (7) для производной (лег) путем почленного дифференцирования ряда Фурье исходной функции При этом вовсе

не было речи о сходимости ряда (7) к функции эту сходимость надлежит устанавливать особо, пользуясь теми или другими достаточными признаками [684, 686].

Нужно отметить, что, ввиду появления при дифференцировании натуральных множителей порядок малости коэффициентов понижается и ухудшаются шансы на сходимость. Между тем, при решении с помощью рядов Фурье задач математической физики часто приходится дифференцировать эти ряды, и даже неоднократно. Для обеспечения сходимости получаемых рядов иногда оказывается полезным предварительное выделение плохо сходящихся частей по методу А. Н. Крылова [710]. При этом сумма выделенной части, известная в конечном виде, дифференцируется непосредственно, а для остающегося ряда стараются добиться столь высокого порядка малости коэффициентов, чтобы и после дифференцирования получить все же равномерно сходящийся ряд.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление