Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье

740. Основная лемма.

Для того чтобы в дальнейшем изложении избежать повторений, мы предпошлем ему некоторые общие соображения, составляющие существо ряда последующих доказательств. Рассмотрим интеграл общего вида

содержащий параметр . Областью изменения параметра пусть будет некоторое множество имеющее точку сгущения конечную или нет. Относительно функции предположим, что она определена для значений t в [0, а] и значений из , и при постоянном X интегрируема по в собственном смысле. Кроме того, наложим на функцию следующие три требования:

2°. Каково бы ни было из ,

и, наконец,

3°. При любом величина

при стремится к нулю.

Функцию Ф, удовлетворяющую этим условиям, для краткости будем называть положительным ядром.

Лемма. Если есть положительное ядро, — произвольная, абсолютно интегрируемая функция, для которой существует предел то

Доказательство. Ввиду 2°,

вычитая это равенство почленно из (1), получим!

Задавшись произвольным числом возьмем теперь так, чтобы при было

и разобьем предшествующий интеграл на сумму двух интегралов:

Для первого из них, принимая во внимание 1° и 2°, сразу получаем оценку:

и притом независимо от X. С другой стороны,

В силу так что для значений X, достаточно близких к будет а вместе с этим и

что и требовалось доказать.

К сказанному сделаем еще такое дополнение. Предположим, что функция кроме переменной t, зависит еще от одной переменной

но при постоянном х удовлетворяет прежним условиям. Тогда, если равномерно ограничена при всех t и

и 2) стремление осуществляется равномерно относительно х, то и интеграл

при стремится к пределу равномерно относительно х.

Действительно, в силу 2) число , о котором была речь в предшествующем рассуждении, можно выбрать независимо от х. Далее, так как, в силу 1),

то неравенство (2) можно заменить таким:

где справа уже нет никакой зависимости х. Отсюда ясно, что для значений , достаточно близких к неравенство с ним и неравенство

будет выполняться сразу для всех значений х, что требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление