Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

759. Одинаково упорядоченные переменные.

Для обобщения таких утверждений, в которых участвуют одновременно две (или несколько) переменных, введем понятие одинаково упорядоченных переменных. Так называются две переменные которые могут быть упорядочены с помощью одного и того же упорядоченного множества с элементами которого их значения ставятся в однозначное соответствие (соответствующими мы будем считать их значения с одинаковыми «пометками» Р).

Если, например, имеем две функции от одной и той же независимой переменной х, с упорядоченной областью изменения X, то эти функции будут одинаково упорядоченными переменными. Соответствующими будут те их значения, которые определяются одним и тем же значением х (оно и играет роль «пометки» Р).

Вот другой пример. Пусть для функции определенных в некотором промежутке построены интегральные суммы

Здесь соответствующими следует, очевидно, считать суммы, определяемые одним и тем же набором точек деления и промежуточных точек этот набор играет в рассматриваемом случае роль «пометки» если упорядочить их, а с ними и суммы по убыванию то снова получим одинаково упорядоченные переменные.

Соединяя теперь две переменные х, у знаками равенства или знаками арифметических действий, мы будем предполагать эти переменные одинаково упорядоченными и подразумевать, что речь идет о соответствующих значениях их, с одинаковыми «пометками». Обращаясь с этими пометками, как раньше обращались с номерами значений варианты, легко воспроизвести все прежние рассуждения, относившиеся к вариантам.

Для примера докажем предложение, обобщающее лемму 2 п° 29:

Если переменная ограничена крайней мере, начиная с некоторого места), а одинаково с нею упорядоченная переменная — бесконечно малая, то и их произведение будет бесконечно малой.

Пусть же

скажем, для . Задавшись произвольным по числу найдем такое что для будет

В согласии с условием III, существует такое что

Если то (в силу II) одновременно

так что выполняются сразу оба предыдущих неравенства, а тогда

что и доказывает наше утверждение.

После приведенных примеров читателю ясно, что вся теория пределов (с сохранением основных линий в доказательствах) действительно переносится на общий случай упорядоченных переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление