Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

565. Примеры.

1) Будет ли криволинейный интеграл

по любому замкнутому контуру равен нулю?

Ответ утвердительный, так как подинтегральное выражение явно представляет собой полный дифференциал от функции

2) Не прибегая к условию (А), выяснить, зависит ли от пути интегрирования интеграл

Ответ: зависит (вообще говоря), ибо подобный же интеграл по непересекающему себя замкнутому контуру выражает удвоенную площадь ограниченной этим контуром области [551] и, следовательно, отличен от 0.

3) Установить существование первообразной и найти ее для следующих дифференциальных выражений:

Решение. С помощью условия интегрируемости выясняется, что в случаях (а), (б), (г) мы имеем точный дифференциал, а в случае (в) нет.

(а) По формуле (8), полагая имеем

То же получается и по формуле (7):

(б) Выгодно, взяв вычислять по формуле (8), ибо тогда первый интеграл обратится в нуль:

(г) По любой из указанных формул получим:

4) Доказать, что условие равносильно тождеству

(в предположении непрерывности функций

5) Иногда разыскание первообразной (если условие интегрируемости выполнено) оформляют иначе, чем это сделано в 558. Покажем это на примере 3 (а).

Из условия

интегрируя по х, найдем для Ф выражение с точностью до «постоянной интегрирования». Эта последняя не зависит от х, по которому мы интегрировалиг но может зависеть от «параметра» поэтому мы возьмем ее в виде . Итак,

Условие

дает нам, при подстановке, вместо Ф его выражения

откуда Окончательно

6) Если тот же прием применить к примеру 3) (в), не обращая внимания на нарушение условия интегрируемости, то для определения получим условие

Оно явно противоречиво, ибо справа стоит выражение, содержащее х, в то время как у от х не зависит!

7) Интересно в общем виде выяснить, какую роль в осуществлении указанного приема играет условие интегрируемости.

Интегрируя по х равенство

найдем, как и в частном примере,

Второе равенство

даст затем для определения условие

Если последнее выражение фактически от х не зависит (т. е. при у = const не меняется с изменением х), то простая квадратура под» приводит к выражению для . Если же выражение (18) содержит х, то полученное для условие противоречиво, ибо не должно зависеть от х. Таким образом, успех зависит исключительно от того, свободно ли от х или нет выражение (18), а это проще всего установить по тому, обращается ли в нуль или нет частная производная от выражения (18) по х. Но производная эта равна таким образом, выполнение условия (А), и только оно, гарантирует

Рис. 28.

8) Какому условию должна удовлетворять функция чтобы выражение

было точным дифференциалом?

Ответ:

9) Вывести формулы (7) и (8) п° 558 для первообразной, воспользовавшись выражением первообразной через криволинейный интеграл [556 (4)] и выбрав в качестве пути интегрирования один раз ломаную а другой раз (рис. 28).

10) Чтобы дать другой пример применения общей формулы (4) п° 556 для разыскания первообразной, решим наново по этой формуле задачу 3) (а), взяв в качестве пути интегрирования прямолинейный отрезок, соединяющий начало координат с произвольной точкой плоскости (мы иначе обозначаем ее координаты, чтобы не путать их с координатами х, у переменной точки пути интегрирования).

В интеграле

нужно у заменить на (ибо как раз и будет уравнение пути интегрирования) и тем свести дело к вычислению обыкновенного определенного интеграла по х от 0 до х. В результате получим

что с точностью до обозначений совпадает с найденным выше выражением.

11) Установить область, в которой выражение

является полным дифференциалом, и найти первообразную для этой области. Решение. Имеем (при ):

причем в первом случае знак плюс или минус берется в соответствии со знаком у. Таким образом, условие интегрируемости выполняется лишь для .

Ограничиваясь, в силу этого, верхней полуплоскостью, воспользуемся для восстановления первообразной тем же приемом, что и в 10), но уравнения прямолинейного отрезка возьмем в параметрической форме:

Тогда

12) Положим

Проверить выполнение условия (А) и найти циклическую постоянную, отвечающую особой точке (0, 0).

Указание. Проще всего вычислить криволинейный интеграл по эллипсу

ибо тогда

сведется [551 (10)] попросту к площади этого эллипса, которая нам известна [339, 6)]. Ср. 549, 9).

13) Если соблюдено условие интегрируемости, криволинейный интеграл иной раз может оказаться не зависящим от пут и, а первообразная функция однозначной — даже при наличии особой точки! Пример: для выражения

имеющего особой точкой начало координат, первообразной будет, например, функция однозначная и непрерывная вместе с производными во всей плоскости (исключая начало). Читатель легко уяснит себе что это связано с фактом обращения в нуль циклической постоянной, отвечающей началу.

14) Проинтегрировать дифференциальное выражение

Решение. Легко проверяются «условия интегрируемости»:

Вычисление проведем по формуле, аналогичной формуле (17), но с перестановкой ролей и полагая при этом Тогда сохранится лишь один из трех интегралов, и мы сразу найдем:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление