Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

571. Непрерывные функции с ограниченным изменением.

9°. Пусть в промежутке задана функция с ограниченным изменением. Если в некоторой точке непрерывна, то в этой же точке непрерывна и функция

Предположим, что и докажем, что непрерывна в точке справа. С этой целью, взяв произвольное разложим промежуток точками

на части так, чтобы оказалось

Опираясь на непрерывность функции можно предположить при этом, что уже настолько близко к что выполняется неравенство

(в случае надобности, можно было бы вставить еще одну точку деления, отчего сумма разве лишь увеличилась бы). Тогда из (12) следует, что

стало быть,

или, наконец,

Отсюда и подавно

следовательно, ввиду произвольности

Аналогично доказывается, что (при )

т. е. что в точке непрерывна слева.

Из доказанной теоремы вытекает такое следствие:

10°. Непрерывная функция с ограниченным изменением представима в виде разности двух непрерывных же возрастающих функций.

В самом деле, если вернуться к доказательству предложения 7° (в части, относящейся к необходимости) и в качестве монотонной мажоранты взять именно функцию

непрерывную в силу 9°, то и получится требуемое разложение.

В заключение покажем, что для непрерывной функции в определении полного изменения:

supremum можно заменить пределом как в том случае, когда полное изменение конечно, так и в том, когда оно бесконечно.

11°. Пусть функция непрерывна в конечном промежутке Разложив этот промежуток. на части точками

и составив сумму

будем иметь

где .

Как уже отмечалось, сумма не убывает от добавления новой точки деления . С другой стороны, если эта новая точка попадает в промежуток между то увеличение суммы проистекающее из появления этой точки, не превосходит удвоенного колебания функции в промежутке

Заметив это, возьмем какое-либо число

и найдем сумму V такую, что

Пусть эта сумма отвечает следующему способу деления:

Выберем теперь столь малое что

лишь только (это сделать можно ввиду равномерной непрерывности функции ). Докажем, что для любого способа деления, которому отвечает будет

В самом деле, имея подобный способ деления (I), составим новый способ (II), получающийся из (I) добавлением всех точек Если способу (II) отвечает сумма то

С другой стороны, способ (II) получается из (I) путем (самое большее) -кратного добавления по одной точке. Так как каждое добавление вызывает увеличение суммы меньшее, чем

Отсюда, а также из (16) и (14), следует, что

Итак, при выполнено (15); но, поскольку всегда

о действительно имеет место (13), что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление