Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

574. Общие условия существования интеграла Стилтьеса.

Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь, впрочем, предположением, что функция монотонно возрастает.

Отсюда следует, что при теперь все наподобие того, как раньше было Это позволяет слово за словом, заменяя лишь на повторить все построения пп° 296 и 297.

Аналогично суммам Дарбу, и здесь целесообразно ввести суммы

где и означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции промежутке Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу—Стилтьеса. Прежде всего, ясно, что (при одном и том же разбиении)

причем и 5 служат точными границами для стилтьесовых сумм о.

Сами суммы Дарбу — Стилтьеса обладают, как и в простейшем случае [296], следующими двумя свойствами:

1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма — разве лишь уменьшиться.

2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.

Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу — Стилтьеса:

то оказывается, что

Наконец, с помощью сумм Дарбу — Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:

Теорема. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было

или

если под как обычно, разуметь колебание функции промежутке

Все доказательства, как указывалось, копируются с соответствующих доказательств, проведенных в пп° 296, 297, и мы можем предоставить их читателю.

В следующем п° мы применим этот критерий к установлению важных парных классов функций для которых интеграл Стилтьеса существует.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление