Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

577. Интегрирование по частям.

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем ее.

Пусть существует интеграл . Разложив промежуток на части выберем в этих частях произвольно по точке так что

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и отнять справа выражение

то а перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла (существование которого предположено!).

Она отвечает разбиению промежутка точками деления

если в качестве выбранных из промежутков точек взять а для промежутков соответственно, а и Если, как обычно, положить , то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут При сумма в квадратных скобках стремится к следовательно, сушествует предел и для а, т. е. интеграл и этот интеграл определяется формулой (9).

Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция в промежутке интегрируема по функции то и функция интегрируема по функции

Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые были рассмотрены в 575, переменив роли функций

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление