Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

592. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов.

1°. Если произвольным образом изменить значения интегрируемой в (Р) функции вдоль какой-либо кривой с площадью 0 (с тем лишь условием, чтобы и измененная функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в (Р), и ее интеграл равен интегралу от

Для доказательства нужно составить интегральные суммы для измененной и исходной функций. Они могут разниться лишь теми слагаемыми, которые относятся к областям задевающим кривую . Но, по лемме п° 690, общая площадь этих областей стремится к нулю при X. откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стремятся к общему пределу.

Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подинтегральной функцией вдоль конечного числа кривых с площадью 0.

2°. Если область (Р), в которой задана функция кривой (с площадью 0) разложена на две области (Р) и то из интегрируемости функции во всей области (Р) следует ее интегрируемость в частичных областях и обратно — из интегрируемости функции в обеих областях (Р) и вытекает интегрируемость в области (Р). При этом

Разложим области произвольным образом на части; тем самым и (Р) разложится на части:

Если значком t отметить части, содержащиеся в (Р), а значком части, содержащиеся в то

Пусть функция интегрируема в (Р), так что при стремится к нулю сумма слева; тогда каждая из сумм справа и подавно стремится к нулю, так что наша функция интегрируема также в

Обратно, если имеет место последнее обстоятельство, так что при стремятся к нулю обе суммы справа, то и сумма слева также стремится к нулю. Однако нужно помнить, что она построена не для произвольного разбиения области (Р) на части: ведь мы исходили из разложения порознь областей (Р) и

Чтобы от произвольного разложения области (Р) перейти к разложению этого частного вида, достаточно присоединить к линиям деления кривую Соответствующие им суммы будут разниться лишь слагаемыми, отвечающими тем элементарным областям, которые задевают кривую Но, по лемме п° 590, их общая площадь стремится к нулю при и обе суммы разнятся на бесконечно малую. Таким образом, условие (6) выполняется в полной общности, и функция оказывается интегрируемой в (Р).

Наконец, доказываемая формула получается переходом к пределу при из равенства

Аналогично, из рассмотрения интегральных сумм с помощью перехода к пределу получаются и следующие три свойства:

3°. Если умножить интегрируемую в (Р) функцию на постоянную то полученная функция также будет интегрируема, и при этом

4°. Если в области (Р) интегрируемы функции то интегрируема и функция причем

5°. Если для интегрируемых в (Р) функций выполняется неравенство то

Далее,

6°. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция и имеет место неравенство

Интегрируемость функции следует из простого замечания, что колебание ; этой функции в любой области не превосходит соответствующего колебания функции . Действительно, тогда

и стремление к нулю второй суммы влечет за собой стремление к нулю первой.

Доказываемое же неравенство получается предельным переходом из неравенства

7°. Если интегрируемая в (Р) функция удовлетворяет неравенству

то

Это получается предельным переходом из очевидного неравенства

Если разделить все части неравенств (7) на

и через обозначить среднее отношение, то получим другую запись неравенства (7)

которая выражает так называемую теорему о среднем значении.

Предположим теперь, в частности, что функция непрерывна в (Р), и возьмем в качестве и М ее наименьшее и наибольшее значения в области (Р) — по теореме Вейерштрасса, 173, они существуют! Тогда по известной теореме Больцано—Коши, 171, непрерывная функция принимающая значения и М, должна пройти и через каждое промежуточное значение. Таким образом, во всяком случае в области (Р) должна найтись такая точка что и формула (8) принимает вид:

Это — особенно употребительная форма теоремы о среднем.

Так же легко переносится на рассматриваемый случай и обобщенная теорема о среднем значении предоставляем это читателю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление