Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области.

Рассмотрим область (Р), ограниченную снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

а с боков — двумя ординатами: (рис. 39). Тогда аналогично теореме п° 594 имеет место следующая

Рис. 39.

Теорема. Если для функции определенной в области (Р), существует двойной интеграл

и — при каждом постоянном значении х из — простой интеграл

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

Доказательство строится на сведении этого случая к рассмотренному в п° 594. Именно, заключим область (Р) в прямоугольник

полагая (см. рис. 39), и определим в этом прямоугольнике функцию следующим образом:

Покажем, что эта функция удовлетворяет условиям теоремы п° 594.

Прежде всего, она интегрируема в области (Р), ибо здесь она совпадает с интегрируемой по условию функцией очевидно, поэтому

С другой стороны, вне (Р) и, следовательно, интегрируема и в остальной части прямоугольника причем

Тогда, в силу 592, 2°, функция интегрируема во всем прямоугольнике и

При постоянном значении существует интеграл

ибо существует каждый из трех интегралов справа. Действительно, так как в промежутках изменения у функция то первый и третий интегралы существуют, будучи равны нулю. Второй же интеграл совпадает с интегралом от функции

поскольку для у в Окончательно,

В силу упомянутой теоремы, для функции существует и повторный интеграл, который равен двойному [см. 594 (4)]:

Принимая же во внимание (7) и (8), видим, что эта формула равносильна формуле (6).

Если область (Р) представляет собой криволинейную трапецию другого типа и ограничена кривыми

и прямыми то вместо (6) придем к формуле

в предположении, что, наряду с двойным интегралом, при существует простой интеграл по X.

Рис. 40.

Замечание. Если контур области (Р) пересекается лишь в двух точках как параллелями оси ординат, так и параллелями оси абсцисс (как, например, в случае, изображенном на рис. 40), то при выполнении указанных условий применимы обе упомянутые формулы. Из сопоставления их получается равенство

которое представляет и самостоятельный интерес. Это — аналог формулы (5) п° 594.

Если функция в области (Р) непрерывна, то интегралы, двойной и простой, существуют, и формулу (5) или (5, смотря по типу области (Р), можно использовать для вычисления двойного интеграла.

В случае более сложного контура область (Р) обычно разлагается на конечное число частей рассмотренного типа. [Например, фигура (Р) на рис. 41 рассекается прямо на три такие части: Тогда и искомый интеграл, в силу 592, 2°, представляется суммой интегралов, распространенных в отдельности на эти части; каждый из них вычисляется как указано.

Рис. 41.

В общем случае также, поскольку мы свели дело к теореме п° 594, в основе умозаключений лежит разбиение рассматриваемой фигуры на прямоугольные элементы. В связи с этим и здесь для обозначения двойного интеграла пользуются часто символом

произведение напоминает о площади элементарного прямоугольника. Само собою понятны и обозначения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление