Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

615. Интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция задана в ограниченной области (Р), но сама оказывается неограниченной в окрестности отдельных точек в любой части области (Р), не содержащей этих точек, мы предполагаем функцию интегрируемой в собственном смысле слова.

Выделим теперь особые точки окружив их кривыми Если удалить из области (Р) ограниченные этими кривыми окрестности особых точек, то мы получим область для которой по предположению интеграл

сходится. Станем «стягивать» кривые в указанные точки так, чтобы наибольшее из расстояний точек этих контуров (А) до соответствующих точек М — обозначим его через — стремилось к нулю. Заметим, что при этом и площади рассматриваемых окрест ностей (меньшие чем также будут стремиться к нулю.

Интеграл (несобственный) от неограниченной функции по области (Р) определяется как предел интеграла при :

Особые точки могут лежать и вдоль некоторых особых линий, которые мы всегда будем предполагать имеющими площадь 0. В этом случае приходится окружать эти линии «сжимающимися» к ним окрестностями, и принципиально здесь нет ничего нового.

Однако точная характеристика подразумевающегося здесь предельного процесса требует еще некоторых пояснений. Пусть особая линия окружена окрестностью с контуром (А). Если взять точку А на (А), то из расстояний этой точки от различных точек В на существует наименьшее, с другой стороны, если изменять положение А на то из всех найдется наибольшее, р. Это число в некотором смысле и характеризует степень удаленности контура (А) от кривой и предельный процесс направляется условием: (При наличии нескольких кривых под разумеется наибольшее из подобных чисел.) Здесь также можно доказать, что вместе с стремится к нулю и площадь рассматриваемой окрестности.

Наконец, определение несобственного интеграла легко распространяется на случай неограниченной области и определенной в ней функции, которая на конечном расстоянии имеет особые точки.

Замечание. Если бы при построении несобственного интеграла, кроме особых точек (или линий), мы стали выделять и некоторые такие точки (или линии), которые на деле не являются особыми, то это обстоятельство никак не могло бы отразиться ни на существовании, ни на величине того предела, которым представляется интеграл. В самом деле, пусть, например, к особым точкам добавляется неособая точка А и, сверх того, что необходимо по точному смыслу определения несобственного интеграла, — мы выделяем еще окрестность этой точки А. Но вблизи А функция ограничена, и интеграл по упомянутой окрестности, вместе с площадью ее, стремится к 0.

На все перечисленные случаи несобственных интегралов переносится то, что было изложено в пп° 612-614.

Прежде всего, и здесь справедлива замечательная теорема о том, что несобственные двойные интегралы если сходятся, то, по необходимости, — абсолютно. Доказательство строится так же, как и в п° 613.

Что касается вопроса о сведении двойного интеграла к повторному, то здесь также достаточно ограничиться случаем, когда, областью (Р) служит (конечный) прямоугольник Можно доказать, о для неотрицательной функции имеет место

формула (7) — в предположении существования повторного интеграла (существование двойного отсюда уже будет вытекать).

Впрочем, следует при этом уточнить еще предполагаемое расположение особых точек функции. Начнем со случая, когда они лежат на горизонтальной прямой (например, или, более обще, на кривой, выражаемой явным уравнением вида

Для этого случая доказательство — такое же, как в п° 614 при Отсюда перейдем к случаю, когда особые точки лежат еще и на некоторой вертикальной прямой (например, рассуждая, как и выше при Если рассматриваемая функция меняет знак, то приходится еще предположить существование повторного интеграла для

Обобщение на случай нескольких кривых или прямых или на случай бесконечного прямоугольника с особенностями на конечном расстоянии — очевидно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление