Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

628. Особые случаи определения площади.

Пусть снова задана гладкая поверхность без кратных точек. Она имеет площадь выражаемую формулой (3) или (3*). Представим себе, что на поверхности выделена некоторая ее часть ограниченная кусочно-гладкой кривой ей в области

отвечает часть ее (6), ограниченная также кусочно-гладкой кривой (X). Площадь части поверхности, полученной выделением фигуры и площадь самой фигуры очевидно, будут равны, соответственно,

Если фигура на поверхности будет теперь стягиваться в точку или в линию, то это же будет происходить и с плоской фигурой и площадь ее Ь будет стремиться к нулю. С нею будет стремиться к нулю и так что

Представим себе теперь, что та же поверхность задана иным представлением:

при котором в отдельной точке или вдоль отдельной линии появляется «особенность» (в частности, обращаются в бесконечность производные фигурирующих в этом представлении функций). Выделив эту точку или линию с помощью ее окрестности площадь остающейся части выразим, как обычно:

если звездочкой отмечать все величины, относящиеся ко второму представлению. Но мы уже знаем [см. (8)], что — при стягивании в упомянутую точку или линию — должна стремиться к следовательно, для получения мы можем перейти к пределу в предшествующей формуле, стягивая в точку или в линию область 6. Но тогда снова получится формула обычного вида

лишь интеграл может оказаться несобственным.

Даже в том случае, когда поверхность вообще гладкая, имеет в отдельной точке или вдоль отдельной линии неустранимую, т. е. не зависящую от способа ее представления, особенность, мы все же будем пользоваться интегралом (3, если только он существует, хотя бы как несобственный, для выражения ее площади. Ясно, что при этом мы площадь на деле определяем, как предел площади т. е. равенство (8), которое мы выше доказывали, здесь служит просто расширением нашего первоначального определения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление