Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

639. Формула Стокса.

Пусть снова будет простая гладкая двухсторонняя поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром Точки поверхности с помощью формул

связаны взаимно однозначным соответствием с точками плоской области , ограниченной кусочно-гладким же контуром , на плоскости При наших предположениях всегда Выбрав определенную сторону поверхности, а в соответствии с этим и ориентацию на ней [620], для определенности будем считать, что положительному обходу контура отвечает обход контура в положительном направлении. Тогда, как мы установили в 621, формулы

характеризуют именно выбранную сторону поверхности

После этих замечаний мы обращаемся к выводу формулы, связывающей поверхностный интеграл с криволинейным и служащей обобщением уже известной нам формулы Грина [600].

Пусть в некоторой пространственной области, содержащей внутри себя поверхность задана функция

непрерывная в этой области вместе со своими частными производными. Тогда имеет место формула

причем направление обхода контура соответствует той стороне поверхности на которую распространен интеграл справа.

Прежде всего преобразуем криволинейный интеграл по кривой заменив его интегралом по кривой :

Равенство это легко проверить, если ввести параметрическое представление кривой , а через него — и кривой оба интеграла сведутся к одному и тому же обыкновенному интегралу по параметру.

Теперь к интегралу в (20) справа применим формулу Грина:

Так как последнее подинтегральное выражение в развернутом виде дает

то мы приходим к двойному интегралу

По формуле же (10) его легко преобразовать в поверхностный интеграл

последний берется по выбранной стороне поверхности, ибо именно эту сторону характеризуют формулы (18). Этим и завершается доказательство равенства (19).

Эта формула установлена нами для гладкой поверхности; но ее легко распространить и на случай кусочно-гладкой (само-непересекающейся) поверхности: стоит лишь написать ее для каждого гладкого куска в отдельности и почленно сложить полученные равенства.

Путем круговой перестановки букв х, у, z получаются еще два аналогичных равенства;

где — новые функции от x, у, z, удовлетворяющие тем же условиям, что и Р.

Складывая все три равенства (19) и (19, получим искомый результат в наиболее общей форме:

Это равенство и называется формулой Стокса (G. G. Stokes). Еще раз подчеркнем, что сторона поверхности и направление обхода контура взаимно определяются по правилу, установленному в п° 620.

Если в качестве куска поверхности взять плоскую область (D) на плоскости так что то получится формула

в которой читатель узнает формулу Грина; таким образом, последняя является частным случаем формулы Стокса.

Отметим, наконец, что поверхностный интеграл второго типа в формуле Стокса может быть заменен поверхностным интегралом первого типа. Тогда эта формула примет вид

причем означают направляющие косинусы нормали, отвечающей именно выбранной стороне поверхности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление