Ãëàâíàÿ > Ìàòåìàòèêà > Ïîâòîðÿåì è ñèñòåìàòèçèðóåì øêîëüíûé êóðñ àëãåáðû è íà÷àë àíàëèçà
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

§ 2. ÊÐÈÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÒÎ×ÊÈ ÔÓÍÊÖÈÈ, ÅÅ ÌÀÊÑÈÌÓÌÛ È ÌÈÍÈÌÓÌÛ

ÑÏÐÀÂÎ×ÍÛÉ ÌÀÒÅÐÈÀË

1. Âíóòðåííèå òî÷êè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, â êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ðàâíà íóëþ èëè íå ñóùåñòâóåò, íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè.

2. Òî÷êà èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà ýòîé ôóíêöèè, åñëè íàéäåòñÿ -îêðåñòíîñòü òî÷êè òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ õôõî èç ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

3. Òî÷êà èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ìàêñèìóìà ýòîé ôóíêöèè, åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ -îêðåñòíîñòü òî÷êè ÷òî äëÿ âñåõ õôõî èç ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

4. Òî÷êè ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìà äàííîé ôóíêöèè, à çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â ýòèõ òî÷êàõ ñîîòâåòñòâåííî ìèíèìóìîì è ìàêñèìóìîì ôóíêöèè (èëè ýêñòðåìóìîì ñàìîé ôóíêöèè).

5. Ôóíêöèÿ ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 182, â òî÷êàõ èìååò ìèíèìóìû à â òî÷êàõ — ìàêñèìóìû ().

Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè à è íå ñ÷èòàþòñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè òàê êàê ó ýòèõ òî÷åê íåò îêðåñòíîñòè, öåëèêîì âõîäÿùåé â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.

6. Òåîðåìà Ôåðìà. Íåîáõîäèìîå

Ðèñ. 182

óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè. Åñëè òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà ôóíêöèè è â ýòîé òî÷êå ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ, òî îíà ðàâíà íóëþ, ò. å.

Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ â òî÷êå èìååò ìèíèìóì, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ôåðìà ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå ðàâíà íóëþ:

7. Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìà Ôåðìà âûðàæàåò ëèøü íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà: èç òîãî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü èëè íå ñóùåñòâóåò â äàííîé òî÷êå íå ñëåäóåò, ÷òî — òî÷êà ýêñòðåìóìà.

Òàê, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè (ðèñ. 183) â òî÷êå ðàâíà íóëþ: Îäíàêî â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ íå èìååò ýêñòðåìóìà.

Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè (ðèñ. 184) â òî÷êå íå ñóùåñòâóåò.  ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ íå èìååò ýêñòðåìóìà.

8. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà. Ïóñòü ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â òî÷êå è èìååò ïðîèçâîäíóþ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Òîãäà:

åñëè íà èíòåðâàëå íà èíòåðâàëå (ò. å. ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ ìèíóñà íà ïëþñ), òî — òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè

åñëè íà èíòåðâàëå íà èíòåðâàëå (ò. å. ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ ïëþñà íà ìèíóñ), òî — òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ

Äàíà ôóíêöèÿ: Íàéòè åå êðèòè÷åñêèå òî÷êè, ïðîìåæóòêè ìîíîòîííîñòè, òî÷êè ýêñòðåìóìà. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

Ðèñ. 183

Ðèñ. 184

Ðèñ. 185

Ðåøåíèå. 1) Èìååì - êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà. Òàê êàê , òî â ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ óáûâàåò, à â ïðîìåæóòêå âîçðàñòàåò.  òî÷êå ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà, à ïðîèçâîäíàÿ â ýòîé òî÷êå ìåíÿåò çíàê ñ ìèíóñà íà ïëþñ.

Òàêèì îáðàçîì, - òî÷êà ìèíèìóìà. Íàõîäèì çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðè

2) Èìååì Ïðèðàâíÿåì íàéäåííóþ ïðîèçâîäíóþ íóëþ è ðåøèì óðàâíåíèå ò. å. íàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè:

Îïðåäåëèì ïðîìåæóòêè çíàêîïîñòîÿíñòâà ïðîèçâîäíîé: ïðè ïðè Çíà÷èò, — òî÷êà ìàêñèìóìà, — òî÷êà ìèíèìóìà.

Íàéäåì ýêñòðåìóìû ôóíêöèè. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà: Òåïåðü íàéäåì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñÿìè êîîðäèíàò. Ïðèðàâíÿâ ó íóëþ, ïîëó÷èì îòêóäà ò. å. èìååì òî÷êè (0; 0) è (3; 0). Ñîñòàâèì òàáëèöó:

Êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ è óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè (ðèñ. 185).

ÄÈÄÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÀÒÅÐÈÀË

(ñì. ñêàí)

(ñì. ñêàí)

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå