§ 2. ÊÐÈÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÒÎ×ÊÈ ÔÓÍÊÖÈÈ, ÅÅ ÌÀÊÑÈÌÓÌÛ È ÌÈÍÈÌÓÌÛ
ÑÏÐÀÂÎ×ÍÛÉ ÌÀÒÅÐÈÀË
1. Âíóòðåííèå òî÷êè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, â êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ðàâíà íóëþ èëè íå ñóùåñòâóåò, íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè.
2. Òî÷êà
èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà ýòîé ôóíêöèè, åñëè íàéäåòñÿ
-îêðåñòíîñòü
òî÷êè
òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ õôõî èç ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
3. Òî÷êà
èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ìàêñèìóìà ýòîé ôóíêöèè, åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ
-îêðåñòíîñòü
òî÷êè
÷òî äëÿ âñåõ õôõî èç ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
4. Òî÷êè ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìà äàííîé ôóíêöèè, à çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â ýòèõ òî÷êàõ ñîîòâåòñòâåííî ìèíèìóìîì è ìàêñèìóìîì ôóíêöèè (èëè ýêñòðåìóìîì ñàìîé ôóíêöèè).
5. Ôóíêöèÿ
ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 182, â òî÷êàõ
èìååò ìèíèìóìû
à â òî÷êàõ
— ìàêñèìóìû (
).
Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè à è
íå ñ÷èòàþòñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè
òàê êàê ó ýòèõ òî÷åê íåò îêðåñòíîñòè, öåëèêîì âõîäÿùåé â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
6. Òåîðåìà Ôåðìà. Íåîáõîäèìîå
Ðèñ. 182
óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè. Åñëè òî÷êà
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà ôóíêöèè
è â ýòîé òî÷êå ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ, òî îíà ðàâíà íóëþ, ò. å.
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ
â òî÷êå
èìååò ìèíèìóì, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ôåðìà ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå ðàâíà íóëþ:
7. Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìà Ôåðìà âûðàæàåò ëèøü íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà: èç òîãî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü èëè íå ñóùåñòâóåò â äàííîé òî÷êå
íå ñëåäóåò, ÷òî
— òî÷êà ýêñòðåìóìà.
Òàê, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
(ðèñ. 183) â òî÷êå
ðàâíà íóëþ:
Îäíàêî â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ íå èìååò ýêñòðåìóìà.
Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
(ðèñ. 184) â òî÷êå
íå ñóùåñòâóåò.  ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ íå èìååò ýêñòðåìóìà.
8. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà. Ïóñòü ôóíêöèÿ
íåïðåðûâíà â òî÷êå
è èìååò ïðîèçâîäíóþ
â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
ýòîé òî÷êè. Òîãäà:
åñëè
íà èíòåðâàëå
íà èíòåðâàëå
(ò. å. ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ ìèíóñà íà ïëþñ), òî
— òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè
åñëè
íà èíòåðâàëå
íà èíòåðâàëå
(ò. å. ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ ïëþñà íà ìèíóñ), òî
— òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ
Äàíà ôóíêöèÿ:
Íàéòè åå êðèòè÷åñêèå òî÷êè, ïðîìåæóòêè ìîíîòîííîñòè, òî÷êè ýêñòðåìóìà. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
Ðèñ. 183
Ðèñ. 184
Ðèñ. 185