Ãëàâíàÿ > Ìàòåìàòèêà > Ïîâòîðÿåì è ñèñòåìàòèçèðóåì øêîëüíûé êóðñ àëãåáðû è íà÷àë àíàëèçà
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

§ 3. ÎÁÙÀß ÑÕÅÌÀ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß ÔÓÍÊÖÈÈ

ÑÏÐÀÂÎ×ÍÛÉ ÌÀÒÅÐÈÀË

Îáùåå èññëåäîâàíèå ôóíêöèè è ïîñòðîåíèå åå ãðàôèêà ðåêîìåíäóåòñÿ âûïîëíÿòü ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:

1. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.

2. Ïðîâåðèòü, íå ÿâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé; ïðîâåðèòü òàêæå, íå ÿâëÿåòñÿ ëè îíà ïåðèîäè÷åñêîé.

3. Íàéòè, åñëè ýòî âîçìîæíî, òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ îñÿìè êîîðäèíàò è ïðîìåæóòêè çíàêîïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè. Èíîãäà äëÿ óòî÷íåíèÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ñëåäóåò íàéòè äâå-òðè äîïîëíèòåëüíûå òî÷êè.

4. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè è åå êðèòè÷åñêèå òî÷êè.

5. Íàéòè ïðîìåæóòêè ìîíîòîííîñòè è ýêñòðåìóìû ôóíêöèè.

6. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ

1. Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ è ïîñòðîèòü åå ãðàôèê:

Ðåøåíèå. 1) 1. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî

2. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé, íè ïåðèîäè÷åñêîé.

3. Íàéäåì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ (ò. å. íóëè ôóíêöèè):

Âîçüìåì òàêæå äâå äîïîëíèòåëüíûå òî÷êè, íàïðèìåð:

4. Íàõîäèì ïðîèçâîäíóþ:

Ïðèðàâíÿâ ïðîèçâîäíóþ íóëþ, ïîëó÷èì êðèòè÷åñêèå òî÷êè:

5. Íàéäåííûå êðèòè÷åñêèå òî÷êè ðàçáèâàþò ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ íà ÷åòûðå ïðîìåæóòêà:

Ñîñòàâèì òàáëèöó:

 ïåðâîé ñòðîêå òàáëèöû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ðàñïîëîæåíû êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè è îãðàíè÷åííûå èìè ïðîìåæóòêè, âî âòîðîé îòìå÷åíû çíàêè ïðîèçâîäíîé â ýòèõ ïðîìåæóòêàõ.  òðåòüåé ñòðîêå çàïèñàíû âûâîäû îá èçìåíåíèè ôóíêöèè, âû÷èñëåíû çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ ýêñòðåìóìà è óêàçàíî, êàêàÿ èç òî÷åê ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà, à êàêàÿ — òî÷êîé ìàêñèìóìà.

6. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ, ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè (ðèñ. 186).

2) 1. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ, êðîìå Îòìåòèì,

Ðèñ. 186

Ðèñ. 187

÷òî ïðè è ïðè êðîìå òîãî, ïðè

2. Ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òàê êàê Ñëåäîâàòåëüíî, åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò è äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ ëèøü íà ïðîìåæóòêå

3. Åñëè òî ò. å. òî÷êà (0; 0) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè. Âîçüìåì òàêæå äâå äîïîëíèòåëüíûå òî÷êè, íàïðèìåð:

4. Íàõîäèì ïðîèçâîëüíóþ

5. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ Ýêñòðåìóìîâ ôóíêöèÿ íå èìååò.

6. Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ñâåäåíèé ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè (ðèñ. 187).

3) Íàõîäèì Èìååì Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.

Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì Ïîñêîëüêó ïåðèîä ôóíêöèè ðàâåí äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè èññëåäîâàíèå òîëüêî îò äî , ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè íà îòðåçêå è ïðîäîëæèòü åãî, ïîëüçóÿñü ïåðèîäè÷íîñòüþ. Íî òàê êàê ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ è ïîñòðîèòü åå ãðàôèê íà îòðåçêå , çàòåì, ïîëüçóÿñü ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, îòðàçèòü åãî íà

îòðåçîê è äàëåå óæå âîñïîëüçîâàòüñÿ ïåðèîäè÷íîñòüþ äàííîé ôóíêöèè. Èòàê, äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå ïðîâåäåì äëÿ îòðåçêà .

Íàéäåì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Äëÿ ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå èìååì Íà îòðåçêå ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàôèê ôóíêöèè íå ïåðåñåêàåò îñè àáñöèññ íè â êàêîé âíóòðåííåé òî÷êå îòðåçêà .

 èíòåðâàëå ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.

Ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ è ïåðèîäè÷åñêàÿ, ñëåäîâàòåëüíî, àñèìïòîò ãðàôèê ôóíêöèè íå èìååò. Íàéäåì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà , èìååì

Íàéäåì òî÷êè ýêñòðåìóìà. Òàê êàê òî, ïðèðàâíÿâ ïðîèçâîäíóþ íóëþ, ïîëó÷èì Äàëåå ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïðåîáðàçóåì òàê:

Ðåøèì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì èç âòîðîãî (íàïîìíèì, ÷òî ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ïîêà îòðåçêîì

Òàêèì îáðàçîì, âíóòðè îòðåçêà èìååòñÿ òîëüêî îäíà òî÷êà êîòîðóþ íàäî ïðîâåðèòü. ßñíî, ÷òî ýòà òî÷êà ìàêñèìóìà, ïîñêîëüêó, êàê ìû îòìåòèëè óæå, íà êîíöàõ îòðåçêà ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü, à âñþäó âíóòðè îòðåçêà îíà ïîëîæèòåëüíà.

Íàéäåì çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå ìàêñèìóìà:

Ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà:

Òåïåðü, ïîëüçóÿñü ïîëó÷åííûìè ðåçóëüòàòàìè, ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè ñíà÷àëà íà îòðåçêå à çàòåì è íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (ðèñ. 188).

Ðèñ. 188

ÄÈÄÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÀÒÅÐÈÀË

(ñì. ñêàí)

(ñì. ñêàí)

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå