§ 3. ÎÁÙÀß ÑÕÅÌÀ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß ÔÓÍÊÖÈÈ
ÑÏÐÀÂÎ×ÍÛÉ ÌÀÒÅÐÈÀË
Îáùåå èññëåäîâàíèå ôóíêöèè è ïîñòðîåíèå åå ãðàôèêà ðåêîìåíäóåòñÿ âûïîëíÿòü ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:
1. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
2. Ïðîâåðèòü, íå ÿâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé; ïðîâåðèòü òàêæå, íå ÿâëÿåòñÿ ëè îíà ïåðèîäè÷åñêîé.
3. Íàéòè, åñëè ýòî âîçìîæíî, òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ îñÿìè êîîðäèíàò è ïðîìåæóòêè çíàêîïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè. Èíîãäà äëÿ óòî÷íåíèÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ñëåäóåò íàéòè äâå-òðè äîïîëíèòåëüíûå òî÷êè.
4. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè è åå êðèòè÷åñêèå òî÷êè.
5. Íàéòè ïðîìåæóòêè ìîíîòîííîñòè è ýêñòðåìóìû ôóíêöèè.
6. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ
1. Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ è ïîñòðîèòü åå ãðàôèê:
Ðåøåíèå. 1) 1. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî
2. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé, íè ïåðèîäè÷åñêîé.
3. Íàéäåì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ
(ò. å. íóëè ôóíêöèè):
Âîçüìåì òàêæå äâå äîïîëíèòåëüíûå òî÷êè, íàïðèìåð:
4. Íàõîäèì ïðîèçâîäíóþ:
Ïðèðàâíÿâ ïðîèçâîäíóþ íóëþ, ïîëó÷èì êðèòè÷åñêèå òî÷êè:
5. Íàéäåííûå êðèòè÷åñêèå òî÷êè ðàçáèâàþò ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ íà ÷åòûðå ïðîìåæóòêà:
Ñîñòàâèì òàáëèöó:
 ïåðâîé ñòðîêå òàáëèöû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ðàñïîëîæåíû êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè è îãðàíè÷åííûå èìè ïðîìåæóòêè, âî âòîðîé îòìå÷åíû çíàêè ïðîèçâîäíîé â ýòèõ ïðîìåæóòêàõ.  òðåòüåé ñòðîêå çàïèñàíû âûâîäû îá èçìåíåíèè ôóíêöèè, âû÷èñëåíû çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ ýêñòðåìóìà è óêàçàíî, êàêàÿ èç òî÷åê ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà, à êàêàÿ — òî÷êîé ìàêñèìóìà.
6. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ, ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè (ðèñ. 186).
2) 1. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ, êðîìå
Îòìåòèì,
Ðèñ. 186
Ðèñ. 187
÷òî
ïðè
è ïðè
êðîìå òîãî,
ïðè
2. Ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òàê êàê
Ñëåäîâàòåëüíî, åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò è äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ ëèøü íà ïðîìåæóòêå
3. Åñëè
òî
ò. å. òî÷êà (0; 0) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè. Âîçüìåì òàêæå äâå äîïîëíèòåëüíûå òî÷êè, íàïðèìåð:
4. Íàõîäèì ïðîèçâîëüíóþ
5. Î÷åâèäíî, ÷òî
ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ
Ýêñòðåìóìîâ ôóíêöèÿ íå èìååò.
6. Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ñâåäåíèé ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè (ðèñ. 187).
3) Íàõîäèì
Èìååì
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì
Ïîñêîëüêó ïåðèîä ôóíêöèè ðàâåí
äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè èññëåäîâàíèå òîëüêî îò
äî
, ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè íà îòðåçêå
è ïðîäîëæèòü åãî, ïîëüçóÿñü ïåðèîäè÷íîñòüþ. Íî òàê êàê ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ è ïîñòðîèòü åå ãðàôèê íà îòðåçêå
, çàòåì, ïîëüçóÿñü ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, îòðàçèòü åãî íà
îòðåçîê
è äàëåå óæå âîñïîëüçîâàòüñÿ ïåðèîäè÷íîñòüþ äàííîé ôóíêöèè. Èòàê, äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå ïðîâåäåì äëÿ îòðåçêà
.
Íàéäåì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ
Äëÿ ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå
èìååì
Íà îòðåçêå
ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ:
Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàôèê ôóíêöèè íå ïåðåñåêàåò îñè àáñöèññ íè â êàêîé âíóòðåííåé òî÷êå îòðåçêà
.
 èíòåðâàëå
ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.
Ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ è ïåðèîäè÷åñêàÿ, ñëåäîâàòåëüíî, àñèìïòîò ãðàôèê ôóíêöèè íå èìååò. Íàéäåì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà
, èìååì
Íàéäåì òî÷êè ýêñòðåìóìà. Òàê êàê
òî, ïðèðàâíÿâ ïðîèçâîäíóþ íóëþ, ïîëó÷èì
Äàëåå ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïðåîáðàçóåì òàê:
Ðåøèì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì
èç âòîðîãî
(íàïîìíèì, ÷òî ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ïîêà îòðåçêîì
Òàêèì îáðàçîì, âíóòðè îòðåçêà
èìååòñÿ òîëüêî îäíà òî÷êà
êîòîðóþ íàäî ïðîâåðèòü. ßñíî, ÷òî ýòà òî÷êà ìàêñèìóìà, ïîñêîëüêó, êàê ìû îòìåòèëè óæå, íà êîíöàõ îòðåçêà
ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü, à âñþäó âíóòðè îòðåçêà îíà ïîëîæèòåëüíà.
Íàéäåì çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå ìàêñèìóìà:
Ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà:
Òåïåðü, ïîëüçóÿñü ïîëó÷åííûìè ðåçóëüòàòàìè, ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè ñíà÷àëà íà îòðåçêå
à çàòåì è íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (ðèñ. 188).
Ðèñ. 188
ÄÈÄÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÀÒÅÐÈÀË
(ñì. ñêàí)